9.设x_(1)=sqrt(2),x_(n+1)=sqrt(2+x_(n))(n=1,2,...),试证数列(x_{n)}极限存在,并求此极限.
题目解答
答案
设数列 $\{x_n\}$ 定义为 $x_1 = \sqrt{2}$，且 $x_{n+1} = \sqrt{2 + x_n}$。
步骤1：证明数列有上界
由 $x_1 = \sqrt{2} < 2$，假设 $x_n < 2$，则 $x_{n+1} = \sqrt{2 + x_n} < \sqrt{4} = 2$。
由数学归纳法，$x_n < 2$ 对所有 $n$ 成立，故数列有上界 2。
步骤2：证明数列单调递增
考虑 $x_{n+1} - x_n = \sqrt{2 + x_n} - x_n$。
函数 $f(x) = \sqrt{2 + x} - x$ 在 $[0, 2]$ 内递减，且 $f(2) = 0$，故 $f(x) > 0$ 对 $x < 2$ 成立。
因此，$x_{n+1} > x_n$，数列单调递增。
步骤3：极限存在
由单调有界数列收敛定理，数列极限存在。设极限为 $L$，则 $L = \sqrt{2 + L}$。
解得 $L = 2$（舍负值）。
结论
数列 $\{x_n\}$ 的极限为 $\boxed{2}$。
解析
考查要点：本题主要考查数列极限的存在性证明及求解，涉及单调有界定理的应用，以及递推数列极限的求解方法。
解题核心思路：
- 证明数列有上界：通过数学归纳法，假设$x_n < 2$，推导$x_{n+1} < 2$，从而说明数列被上界2限制。
- 证明数列单调递增：通过比较$x_{n+1} - x_n$的符号，结合函数单调性分析，说明数列递增。
- 应用单调有界定理：结合前两步结论，得出极限存在。
- 求解极限值：设极限为$L$，代入递推关系解方程$L = \sqrt{2 + L}$，排除负解后得到$L = 2$。
破题关键点：
- 归纳法应用：通过递推关系建立不等式链，证明上界。
- 函数单调性分析：利用函数$f(x) = \sqrt{2 + x} - x$的单调性，判断数列递增性。
- 方程求解：注意舍去不符合实际的负根。
步骤1：证明数列有上界
初始条件：$x_1 = \sqrt{2} < 2$。
归纳假设：假设$x_n < 2$，则
$x_{n+1} = \sqrt{2 + x_n} < \sqrt{2 + 2} = \sqrt{4} = 2.$
由数学归纳法，对所有$n$，$x_n < 2$，故数列有上界2。
步骤2：证明数列单调递增
构造差值：
$x_{n+1} - x_n = \sqrt{2 + x_n} - x_n.$
分析函数$f(x) = \sqrt{2 + x} - x$：
- 在区间$[0, 2]$内，$f(x)$单调递减（导数$f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{2+x}} - 1 < 0$）。
- 当$x = 2$时，$f(2) = \sqrt{4} - 2 = 0$。
因此，当$x < 2$时，$f(x) > 0$，即$\sqrt{2 + x_n} > x_n$，故$x_{n+1} > x_n$，数列单调递增。
步骤3：求极限值
设极限为$L$：由递推关系得
$L = \sqrt{2 + L}.$
平方化简：
$L^2 = 2 + L \implies L^2 - L - 2 = 0.$
解方程：
$L = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2} = \frac{1 \pm 3}{2} \implies L = 2 \text{ 或 } L = -1.$
舍去负解：因数列各项均为正数，故$L = 2$。