四、应用题(本大题共7分)-|||-19.要建造一个容积为16π(单位:m^3 )的圆柱形无盖蓄水池,已知侧面单位造价为a(单位:-|||-元),池底单位造价为侧面单位造价的两倍,问应如何选择蓄水池的池底半径r和高h,才能使-|||-总造价最低

步骤 1：确定圆柱形蓄水池的体积公式
圆柱形蓄水池的体积公式为：$V = \pi r^2 h$，其中$r$是底面半径，$h$是高。题目中给出的体积为$16\pi$，因此有$\pi r^2 h = 16\pi$，简化后得到$r^2 h = 16$。

步骤 2：确定总造价的表达式
侧面单位造价为$a$元，池底单位造价为侧面单位造价的两倍，即$2a$元。侧面的面积为$2\pi rh$，底面的面积为$\pi r^2$。因此，总造价$W$为：
$$W = a \cdot 2\pi rh + 2a \cdot \pi r^2 = 2a\pi rh + 2a\pi r^2$$
将$r^2 h = 16$代入上式，得到：
$$W = 2a\pi \cdot 16/r + 2a\pi r^2 = 32a\pi/r + 2a\pi r^2$$

步骤 3：求总造价的最小值
为了求出总造价$W$的最小值，需要对$W$关于$r$求导，并令导数等于0。对$W$求导得到：
$$\frac{dW}{dr} = -32a\pi/r^2 + 4a\pi r$$
令导数等于0，得到：
$$-32a\pi/r^2 + 4a\pi r = 0$$
解得$r^3 = 8$，即$r = 2$。将$r = 2$代入$r^2 h = 16$，得到$h = 4$。

步骤 4：验证$r = 2$时总造价$W$取得最小值
为了验证$r = 2$时总造价$W$取得最小值，可以对$W$关于$r$求二阶导数。对$W$求二阶导数得到：
$$\frac{d^2W}{dr^2} = 64a\pi/r^3 + 4a\pi$$
将$r = 2$代入上式，得到$\frac{d^2W}{dr^2} > 0$，说明$r = 2$时总造价$W$取得最小值。