题目

6.填空题若lim_(xto2)(x^2-3x+k)/(x-2)=1，则k=____.

6.填空题 若$\lim_{x\to2}\frac{x^{2}-3x+k}{x-2}=1$，则k=____.

题目解答

答案

为了使极限 $\lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 3x + k}{x-2} = 1$ 成立，分子 $x^2 - 3x + k$ 在 $x = 2$ 处必须为 0（否则极限趋于无穷）。
将 $x = 2$ 代入分子得：
$2^2 - 3 \times 2 + k = 4 - 6 + k = k - 2 = 0 \implies k = 2$
代入 $k = 2$，原式变为：
$\lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 3x + 2}{x-2} = \lim_{x \to 2} \frac{(x-1)(x-2)}{x-2} = \lim_{x \to 2} (x-1) = 1$
符合题目条件。

答案： $\boxed{2}$

解析

本题考查函数极限的计算以及极限存在的条件。解题的关键在于根据极限存在的条件确定分子在$x\to2$时的取值情况，进而求出$k$的值。

  1. 分析极限存在的条件：
    已知$\lim_{x\to2}\frac{x^{2}-3x+k}{x - 2}=1$，当$x\to2$时，分母$x - 2\to0$。若分子$x^{2}-3x + k$在$x\to2$时不为$0$，那么整个分式的极限将趋于无穷，这与已知极限值为$1$矛盾。所以，为了使极限存在且等于$1$，分子$x^{2}-3x + k$在$x = 2$处必须为$0$。
  2. 求出$k$的值：
    将$x = 2$代入分子$x^{2}-3x + k$中，可得$2^{2}-3\times2 + k$。
    根据上述分析，$2^{2}-3\times2 + k = 0$，即$4 - 6 + k = 0$，进一步化简为$k - 2 = 0$，解得$k = 2$。
  3. 验证$k$的值：
    将$k = 2$代入原式$\lim_{x\to2}\frac{x^{2}-3x + k}{x - 2}$中，得到$\lim_{x\to2}\frac{x^{2}-3x + 2}{x - 2}$。
    对分子$x^{2}-3x + 2$进行因式分解，根据十字相乘法可得$x^{2}-3x + 2=(x - 1)(x - 2)$。
    则原式变为$\lim_{x\to2}\frac{(x - 1)(x - 2)}{x - 2}$，因为$x\to2$时$x\neq2$，所以可以约去分子分母的$x - 2$，得到$\lim_{x\to2}(x - 1)$。
    将$x = 2$代入$x - 1$，可得$\lim_{x\to2}(x - 1)=2 - 1 = 1$，符合题目条件。