题型说明：请计算以下积分题，写出求解过程，只写答案不得分。6. (5.0分) int_(-1)^1(x)/(sqrt(5-4x))dx

本题考查定积分的计算，解题思路是通过换元法将被积函数化简，然后再进行积分计算。

1. 换元：
   • 令$t = \sqrt{5 - 4x}$，对其进行变形可得$t^{2}=5 - 4x$，进一步求解$x$，得到$x=\frac{5 - t^{2}}{4}$。
   • 对$x=\frac{5 - t^{2}}{4}$求微分，根据求导公式$(X^n)^\prime=nX^{n - 1}$，$dx=d(\frac{5 - t^{2}}{4})=\frac{1}{4}d(5 - t^{2})=\frac{1}{4}(0 - 2t)dt=-\frac{t}{2}dt$。
   • 确定积分上下限：
     • 当$x=-1$时，$t=\sqrt{5-4\times(-1)}=\sqrt{5 + 4}=3$。
     • 当$x = 1$时，$t=\sqrt{5-4\times1}=\sqrt{1}=1$。
2. 代入原积分：
   • 将$x=\frac{5 - t^{2}}{4}$，$dx=-\frac{t}{2}dt$以及积分上下限$t:3\to1$代入原积分$\int_{-1}^{1}\frac{x}{\sqrt{5 - 4x}}dx$，得到$\int_{3}^{1}\frac{\frac{5 - t^{2}}{4}}{t}\left(-\frac{t}{2}\right)dt$。
   • 对$\int_{3}^{1}\frac{\frac{5 - t^{2}}{4}}{t}\left(-\frac{t}{2}\right)dt$进行化简，$\frac{\frac{5 - t^{2}}{4}}{t}\left(-\frac{t}{2}\right)=\frac{5 - t^{2}}{4}\times\frac{1}{t}\times\left(-\frac{t}{2}\right)=-\frac{5 - t^{2}}{8}$，所以$\int_{3}^{1}\frac{\frac{5 - t^{2}}{4}}{t}\left(-\frac{t}{2}\right)dt=\int_{3}^{1}-\frac{5 - t^{2}}{8}dt$。
   • 根据定积分的性质$\int_{a}^{b}f(x)dx=-\int_{b}^{a}f(x)dx$，则$\int_{3}^{1}-\frac{5 - t^{2}}{8}dt=\int_{1}^{3}\frac{5 - t^{2}}{8}dt=\frac{1}{8}\int_{1}^{3}(5 - t^{2})dt$。
3. 计算定积分：
   • 根据定积分的运算法则$\int_{a}^{b}(f(x)-g(x))dx=\int_{a}^{b}f(x)dx-\int_{a}^{b}g(x)dx$，$\frac{1}{8}\int_{1}^{3}(5 - t^{2})dt=\frac{1}{8}\left(\int_{1}^{3}5dt-\int_{1}^{3}t^{2}dt\right)$。
   • 分别计算$\int_{1}^{3}5dt$和$\int_{1}^{3}t^{2}dt$：
     • 根据定积分公式$\int_{a}^{b}kdx=k(b - a)$（$k$为常数），$\int_{1}^{3}5dt=5\times(3 - 1)=10$。
     • 根据定积分公式$\int_{a}^{b}x^{n}dx=\frac{x^{n + 1}}{n+1}\big|_{a}^{b}$（$n\neq - 1$），$\int_{1}^{3}t^{2}dt=\frac{t^{3}}{3}\big|_{1}^{3}=\frac{3^{3}}{3}-\frac{1^{3}}{3}=9-\frac{1}{3}=\frac{26}{3}$。
   • 所以$\frac{1}{8}\left(\int_{1}^{3}5dt-\int_{1}^{3}t^{2}dt\right)=\frac{1}{8}\left(10-\frac{26}{3}\right)$。
   • 先计算括号内的值：$10-\frac{26}{3}=\frac{30}{3}-\frac{26}{3}=\frac{4}{3}$。
   • 则$\frac{1}{8}\left(10-\frac{26}{3}\right)=\frac{1}{8}\times\frac{4}{3}=\frac{1}{6}$。