题目
30.(单选题,3.0分)-|||-设函数 y=f(x) 是单调的可导函数,且 '(x)=dfrac (1)(sqrt {4+{x)^2}} f(0)=3 则反函数 =(f)^-1(y) 的导数-|||-A 3-|||-B 1/3-|||-C dfrac (1)(2)-|||-D 2
题目解答
答案
【答案】
D
【解析】
.在同一点,函数和反函数的导数相乘等于1.
设
,则
.
,则.故选：D.
解析
步骤 1：确定函数 $f(x)$ 的导数
已知 $f'(x)=\dfrac {1}{\sqrt {4+{x}^{2}}}$，这是函数 $f(x)$ 的导数表达式。
步骤 2：计算 $f'(0)$
将 $x=0$ 代入 $f'(x)$ 的表达式中，得到 $f'(0)=\dfrac {1}{\sqrt {4+{0}^{2}}}=\dfrac {1}{2}$。
步骤 3：利用反函数的导数性质
反函数的导数性质表明，如果 $y=f(x)$ 是单调的可导函数，那么反函数 $x=f^{-1}(y)$ 的导数 $f^{-1}'(y)$ 与 $f'(x)$ 互为倒数，即 $f^{-1}'(y)=\dfrac {1}{f'(x)}$。由于 $f(0)=3$，所以 $f^{-1}(3)=0$，因此 $f^{-1}'(3)=\dfrac {1}{f'(0)}$。
步骤 4：计算 $f^{-1}'(3)$
根据步骤 2 和步骤 3，$f^{-1}'(3)=\dfrac {1}{f'(0)}=\dfrac {1}{\dfrac {1}{2}}=2$。
已知 $f'(x)=\dfrac {1}{\sqrt {4+{x}^{2}}}$，这是函数 $f(x)$ 的导数表达式。
步骤 2：计算 $f'(0)$
将 $x=0$ 代入 $f'(x)$ 的表达式中，得到 $f'(0)=\dfrac {1}{\sqrt {4+{0}^{2}}}=\dfrac {1}{2}$。
步骤 3：利用反函数的导数性质
反函数的导数性质表明，如果 $y=f(x)$ 是单调的可导函数，那么反函数 $x=f^{-1}(y)$ 的导数 $f^{-1}'(y)$ 与 $f'(x)$ 互为倒数，即 $f^{-1}'(y)=\dfrac {1}{f'(x)}$。由于 $f(0)=3$，所以 $f^{-1}(3)=0$，因此 $f^{-1}'(3)=\dfrac {1}{f'(0)}$。
步骤 4：计算 $f^{-1}'(3)$
根据步骤 2 和步骤 3，$f^{-1}'(3)=\dfrac {1}{f'(0)}=\dfrac {1}{\dfrac {1}{2}}=2$。