题目

dfrac (lg 3+dfrac {2)(5)lg 9+dfrac (3)(5)lg sqrt (27)-lg sqrt (3)}(lg 81-lg 27)= __

题目解答

答案

解析

考查要点：本题主要考查对数的运算性质，特别是对数的幂法则及对数的加减运算转化为系数相加减的能力。

解题核心思路：将分子和分母中的各项都转化为以$\lg 3$为基准的表达式，通过合并同类项简化计算。

破题关键点：

  1. 识别各对数项的底数均为3的幂，利用$\lg a^b = b \lg a$将各项转换为$\lg 3$的倍数。
  2. 合并分子中的系数，注意通分计算。
  3. 约分简化，分子和分母中的$\lg 3$可抵消。

分子部分化简

  1. 分解各对数项：

    • $\lg 9 = \lg 3^2 = 2 \lg 3$
    • $\lg \sqrt{27} = \lg 3^{3/2} = \dfrac{3}{2} \lg 3$
    • $\lg \sqrt{3} = \lg 3^{1/2} = \dfrac{1}{2} \lg 3$

  2. 代入原式并展开：
    $\begin{aligned} \text{分子} &= \lg 3 + \dfrac{2}{5} \cdot 2 \lg 3 + \dfrac{3}{5} \cdot \dfrac{3}{2} \lg 3 - \dfrac{1}{2} \lg 3 \\ &= \lg 3 + \dfrac{4}{5} \lg 3 + \dfrac{9}{10} \lg 3 - \dfrac{1}{2} \lg 3 \end{aligned}$

  3. 合并系数：
    $1 + \dfrac{4}{5} + \dfrac{9}{10} - \dfrac{1}{2} = \dfrac{10}{10} + \dfrac{8}{10} + \dfrac{9}{10} - \dfrac{5}{10} = \dfrac{22}{10} = \dfrac{11}{5}$
    因此，分子为$\dfrac{11}{5} \lg 3$。

分母部分化简

  1. 分解对数项：

    • $\lg 81 = \lg 3^4 = 4 \lg 3$
    • $\lg 27 = \lg 3^3 = 3 \lg 3$

  2. 代入原式：
    $\text{分母} = 4 \lg 3 - 3 \lg 3 = \lg 3$

整体化简

$\text{原式} = \dfrac{\dfrac{11}{5} \lg 3}{\lg 3} = \dfrac{11}{5}$