计算二重积分：(iint )_(D)(ln (1+(x)^2+(y)^2))dxdy,其中(iint )_(D)(ln (1+(x)^2+(y)^2))dxdy是由圆周(iint )_(D)(ln (1+(x)^2+(y)^2))dxdy及坐标轴所围的在第一象限内的闭区域.

步骤 1：转换为极坐标
将直角坐标系下的二重积分转换为极坐标系下的二重积分。在极坐标系中，$x = r\cos\theta$，$y = r\sin\theta$，$dxdy = rdrd\theta$。因此，原积分可以写为：
$$
\iint_{D} \ln(1+x^2+y^2)dxdy = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \int_{0}^{1} \ln(1+r^2) r dr d\theta
$$
步骤 2：计算内层积分
计算内层积分$\int_{0}^{1} \ln(1+r^2) r dr$。使用分部积分法，设$u = \ln(1+r^2)$，$dv = r dr$，则$du = \frac{2r}{1+r^2} dr$，$v = \frac{1}{2}r^2$。因此，内层积分可以写为：
$$
\int_{0}^{1} \ln(1+r^2) r dr = \left[\frac{1}{2}r^2\ln(1+r^2)\right]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \frac{r^2}{1+r^2} dr
$$
步骤 3：计算外层积分
计算外层积分$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} d\theta$。由于外层积分是对$\theta$的积分，而$\theta$的范围是$[0, \frac{\pi}{2}]$，因此外层积分的值为$\frac{\pi}{2}$。将内层积分的结果代入外层积分，得到：
$$
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \int_{0}^{1} \ln(1+r^2) r dr d\theta = \frac{\pi}{2} \left[\frac{1}{2}r^2\ln(1+r^2)\right]_{0}^{1} - \frac{\pi}{2} \int_{0}^{1} \frac{r^2}{1+r^2} dr
$$
步骤 4：计算最终结果
计算最终结果。将$r=1$代入$\frac{1}{2}r^2\ln(1+r^2)$，得到$\frac{1}{2}\ln 2$。计算$\int_{0}^{1} \frac{r^2}{1+r^2} dr$，得到$\frac{1}{2} - \frac{1}{2}\ln 2$。因此，最终结果为：
$$
\frac{\pi}{2} \left[\frac{1}{2}\ln 2\right] - \frac{\pi}{2} \left[\frac{1}{2} - \frac{1}{2}\ln 2\right] = \frac{\pi}{4}(2\ln 2 - 1)
$$