已知点A(1,0,0 )及点B(0,2,1 ),试在z轴上求一点C,使 Delta ABC 的面积最小.

考查要点：本题主要考查空间直角坐标系中点的坐标、向量叉积的应用以及利用导数求函数极值的方法。

解题核心思路：

1. 确定点C的坐标形式：由于点C在z轴上，其坐标为$(0,0,z)$。
2. 利用向量叉积求三角形面积：三角形面积等于两邻边向量叉积模长的一半，即$S = \dfrac{1}{2}|\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}|$。
3. 构造面积表达式并求最小值：将面积表达式转化为关于$z$的函数，通过求导找到极值点，验证后确定最小值。

破题关键点：

• 正确计算向量叉积，并简化表达式。
• 将面积最小化问题转化为二次函数的极值问题，利用导数求解。

步骤1：确定点C的坐标形式

点C在z轴上，故其坐标为$(0,0,z)$。

步骤2：计算向量$\overrightarrow{AB}$和$\overrightarrow{AC}$

• $\overrightarrow{AB} = B - A = (0-1, 2-0, 1-0) = (-1, 2, 1)$
• $\overrightarrow{AC} = C - A = (0-1, 0-0, z-0) = (-1, 0, z)$

步骤3：计算向量叉积$\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}$

$\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} = \begin{vmatrix}\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\-1 & 2 & 1 \\-1 & 0 & z\end{vmatrix} = (2z - 0)\mathbf{i} - [(-1)z - (-1) \cdot 1]\mathbf{j} + [(-1) \cdot 0 - (-1) \cdot 2]\mathbf{k} = 2z\mathbf{i} + (z - 1)\mathbf{j} + 2\mathbf{k}$

步骤4：计算叉积的模长

$|\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}| = \sqrt{(2z)^2 + (z - 1)^2 + 2^2} = \sqrt{4z^2 + z^2 - 2z + 1 + 4} = \sqrt{5z^2 - 2z + 5}$

步骤5：构造面积函数并求最小值

三角形面积为：
$S = \dfrac{1}{2} \sqrt{5z^2 - 2z + 5}$
为使面积最小，只需最小化被开方部分$f(z) = 5z^2 - 2z + 5$。

步骤6：求导并解极值方程

• 一阶导数：$f'(z) = 10z - 2$
• 令$f'(z) = 0$，解得$z = \dfrac{1}{5}$
• 二阶导数：$f''(z) = 10 > 0$，说明$z = \dfrac{1}{5}$是极小值点。