9.已知方程组如下-|||- ) (x)_(1)-(x)_(2)=1, -(x)_(1)+(x)_(2)=2, 2(x)_(1)-2(x)_(2)=3, -3(x)_(1)+(x)_(2)=4 .-|||-求上述矛盾方程组的最小二乘解.

步骤 1：将方程组写成矩阵形式
将方程组写成矩阵形式，即 $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$，其中
$$
A=\begin{bmatrix}
1 & -1 \\
-1 & 1 \\
2 & -2 \\
-3 & 1
\end{bmatrix},\quad
\mathbf{x}=\begin{bmatrix}
x_1 \\
x_2
\end{bmatrix},\quad
\mathbf{b}=\begin{bmatrix}
1 \\
2 \\
3 \\
4
\end{bmatrix}.
$$
步骤 2：计算 $A^T A$ 和 $A^T \mathbf{b}$
计算 $A^T A$ 和 $A^T \mathbf{b}$，其中
$$
A^T A=\begin{bmatrix}
1 & -1 & 2 & -3 \\
-1 & 1 & -2 & 1
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
1 & -1 \\
-1 & 1 \\
2 & -2 \\
-3 & 1
\end{bmatrix}
=\begin{bmatrix}
15 & -5 \\
-5 & 15
\end{bmatrix},
$$
$$
A^T \mathbf{b}=\begin{bmatrix}
1 & -1 & 2 & -3 \\
-1 & 1 & -2 & 1
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
1 \\
2 \\
3 \\
4
\end{bmatrix}
=\begin{bmatrix}
-6 \\
-10
\end{bmatrix}.
$$
步骤 3：求解最小二乘解
求解最小二乘解，即求解方程组 $(A^T A)\mathbf{x}=A^T \mathbf{b}$，即
$$
\begin{bmatrix}
15 & -5 \\
-5 & 15
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
x_1 \\
x_2
\end{bmatrix}
=\begin{bmatrix}
-6 \\
-10
\end{bmatrix}.
$$
解得
$$
\begin{bmatrix}
x_1 \\
x_2
\end{bmatrix}
=\begin{bmatrix}
-\frac{29}{12} \\
-\frac{13}{4}
\end{bmatrix}.
$$