例1.7 已知-|||-https:/img.zuoyebang.cc/zyb_218762fe585dbabaa8e3f46957a71dcd.jpg 0 https:/img.zuoyebang.cc/zyb_218762fe585dbabaa8e3f46957a71dcd.jpg 5-|||-.=-|||-2 https:/img.zuoyebang.cc/zyb_218762fe585dbabaa8e3f46957a71dcd.jpg .-1 . 4-|||-https:/img.zuoyebang.cc/zyb_218762fe585dbabaa8e3f46957a71dcd.jpg 0 .-1 2-|||-.-1 3 1 2-|||-求:(1) _(11)-(A)_(21)-(A)_(31)+(A)_(21) ;(2) (A)_(41)+(A)_(42)-(A)_(43)+(A)_(44)

考查要点：本题主要考查行列式代数余子式的性质及其应用，特别是利用代数余子式的展开定理进行线性组合的计算。

解题核心思路：

1. 代数余子式的展开定理：若行列式某列（或行）的元素与另一列（或行）的代数余子式对应相乘后求和，结果为0。
2. 关键点：将题目中的代数余子式组合转化为行列式某列（或行）元素与代数余子式的乘积和，利用上述性质快速求解。

第（1）题

分析：
题目要求计算 $A_{11} - A_{21} - A_{31} + A_{41}$。根据代数余子式的性质，若某列元素与另一列的代数余子式相乘求和，结果为0。
关键步骤：

1. 构造对应关系：将表达式视为行列式第三列元素 $(1, -1, -1, 1)$ 与第一列代数余子式相乘的和：
   $1 \cdot A_{11} + (-1) \cdot A_{21} + (-1) \cdot A_{31} + 1 \cdot A_{41}.$
2. 应用性质：由于第三列元素与第一列代数余子式不属于同一列，根据展开定理，和为0。

结论：
$A_{11} - A_{21} - A_{31} + A_{41} = 0.$

第（2）题

分析：
题目要求计算 $2A_{41} + A_{42} - A_{43} + A_{44}$。需构造与代数余子式对应的行或列元素。
关键步骤：

1. 分解表达式：将系数 $(2, 1, -1, 1)$ 视为某行元素（如第二行），与第四行代数余子式相乘：
   $2A_{41} + 1A_{42} + (-1)A_{43} + 1A_{44}.$
2. 应用性质：若该行元素与第四行代数余子式不属于同一行，和为0。
3. 剩余项处理：原式可拆分为两部分，其中一部分为0，剩余部分为 $-3A_{43}$。
4. 计算 $A_{43}$：通过行列式展开或直接计算得 $A_{43} = -2$，最终结果为：
   $-3 \cdot (-2) = 6.$

结论：
$2A_{41} + A_{42} - A_{43} + A_{44} = 6.$