题目
求下列函数的反函数：(1) y = sqrt[3](x+1);(2) y = (1-x)/(1+x);(3) y = (ax+b)/(cx+d) (ad-bc neq 0);(4) y = 2sin 3x (-(pi)/(6) leq x leq (pi)/(6));(5) y = 1 + ln(x+2);(6) y = (2^x)/(2^x+1).
求下列函数的反函数： (1) $y = \sqrt[3]{x+1}$; (2) $y = \frac{1-x}{1+x}$; (3) $y = \frac{ax+b}{cx+d}$ ($ad-bc \neq 0$); (4) $y = 2\sin 3x$ ($-\frac{\pi}{6} \leq x \leq \frac{\pi}{6}$); (5) $y = 1 + \ln(x+2)$; (6) $y = \frac{2^x}{2^x+1}$.
题目解答
答案
我们来逐个求解这些函数的反函数。
---
### (1) $ y = \sqrt[3]{x+1} $
**步骤：**
1. 将函数写成 $ y = \sqrt[3]{x+1} $。
2. 两边立方：
$$
y^3 = x + 1
$$
3. 解出 $ x $：
$$
x = y^3 - 1
$$
4. 所以反函数为：
$$
f^{-1}(x) = x^3 - 1
$$
✅ **答案：** $ f^{-1}(x) = x^3 - 1 $
---
### (2) $ y = \frac{1 - x}{1 + x} $
**步骤：**
1. 交换 $ x $ 和 $ y $：
$$
x = \frac{1 - y}{1 + y}
$$
2. 解这个方程：
$$
x(1 + y) = 1 - y \Rightarrow x + xy = 1 - y
$$
3. 把所有含 $ y $ 的项移到一边：
$$
xy + y = 1 - x \Rightarrow y(x + 1) = 1 - x
$$
4. 解出 $ y $：
$$
y = \frac{1 - x}{x + 1}
$$
✅ **答案：** $ f^{-1}(x) = \frac{1 - x}{x + 1} $
---
### (3) $ y = \frac{ax + b}{cx + d} $，其中 $ ad - bc \ne 0 $
**步骤：**
1. 交换 $ x $ 和 $ y $：
$$
x = \frac{ay + b}{cy + d}
$$
2. 两边乘以 $ cy + d $：
$$
x(cy + d) = ay + b
\Rightarrow xcy + xd = ay + b
$$
3. 把所有含 $ y $ 的项移到一边：
$$
xcy - ay = b - xd \Rightarrow y(cx - a) = b - xd
$$
4. 解出 $ y $：
$$
y = \frac{b - xd}{cx - a}
$$
✅ **答案：** $ f^{-1}(x) = \frac{b - xd}{cx - a} $
---
### (4) $ y = 2\sin 3x $，其中 $ -\frac{\pi}{6} \le x \le \frac{\pi}{6} $
**步骤：**
1. 注意：定义域是 $ x \in [-\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{6}] $，所以 $ 3x \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}] $，在这个区间内 $ \sin $ 是单调递增的，可以求反函数。
2. 从 $ y = 2\sin 3x $，解出 $ \sin 3x = \frac{y}{2} $
3. 两边取反正弦（注意值域）：
$$
3x = \arcsin\left(\frac{y}{2}\right)
\Rightarrow x = \frac{1}{3} \arcsin\left(\frac{y}{2}\right)
$$
✅ **答案：** $ f^{-1}(x) = \frac{1}{3} \arcsin\left(\frac{x}{2}\right) $，定义域为 $ x \in [-2, 2] $
---
### (5) $ y = 1 + \ln(x + 2) $
**步骤：**
1. 从 $ y = 1 + \ln(x + 2) $，解出 $ \ln(x + 2) = y - 1 $
2. 两边取指数：
$$
x + 2 = e^{y - 1} \Rightarrow x = e^{y - 1} - 2
$$
✅ **答案：** $ f^{-1}(x) = e^{x - 1} - 2 $
---
### (6) $ y = \frac{2^x}{2^x + 1} $
**步骤：**
1. 令 $ y = \frac{2^x}{2^x + 1} $
2. 两边乘以 $ 2^x + 1 $：
$$
y(2^x + 1) = 2^x \Rightarrow y \cdot 2^x + y = 2^x
$$
3. 移项整理：
$$
y \cdot 2^x - 2^x = -y \Rightarrow 2^x(y - 1) = -y
$$
4. 解出 $ 2^x $：
$$
2^x = \frac{-y}{y - 1}
$$
5. 两边取对数：
$$
x = \log_2\left(\frac{-y}{y - 1}\right)
$$
✅ **答案：** $ f^{-1}(x) = \log_2\left(\frac{-x}{x - 1}\right) $，定义域为 $ x \in (0, 1) $
---
### 总结答案：
1. $ f^{-1}(x) = x^3 - 1 $
2. $ f^{-1}(x) = \frac{1 - x}{x + 1} $
3. $ f^{-1}(x) = \frac{b - xd}{cx - a} $
4. $ f^{-1}(x) = \frac{1}{3} \arcsin\left(\frac{x}{2}\right) $，定义域 $ [-2, 2] $
5. $ f^{-1}(x) = e^{x - 1} - 2 $
6. $ f^{-1}(x) = \log_2\left(\frac{-x}{x - 1}\right) $，定义域 $ (0, 1) $
✅ **最终答案：**
$$
\boxed{
\begin{aligned}
(1)&\quad f^{-1}(x) = x^3 - 1 \\
(2)&\quad f^{-1}(x) = \frac{1 - x}{x + 1} \\
(3)&\quad f^{-1}(x) = \frac{b - xd}{cx - a} \\
(4)&\quad f^{-1}(x) = \frac{1}{3} \arcsin\left(\frac{x}{2}\right),\quad x \in [-2, 2] \\
(5)&\quad f^{-1}(x) = e^{x - 1} - 2 \\
(6)&\quad f^{-1}(x) = \log_2\left(\frac{-x}{x - 1}\right),\quad x \in (0, 1)
\end{aligned}
}
$$
解析
反函数求解的核心思路是交换原函数的自变量和因变量，再解方程得到新的表达式。不同函数类型需注意以下要点：
- 根式函数：通过幂运算消去根号；
- 分式函数：交叉相乘解方程，注意分母不为零；
- 线性分式函数：代数变形后整理分母；
- 三角函数：根据定义域确定反三角函数的值域；
- 对数函数：转化为指数形式；
- 指数分式函数：分离变量后取对数。
第（1）题
关键步骤：立方消去三次根号。
- 原式 $y = \sqrt[3]{x+1}$；
- 两边立方：$y^3 = x + 1$；
- 解得 $x = y^3 - 1$。
第（2）题
关键步骤：交叉相乘解分式方程。
- 交换变量：$x = \frac{1 - y}{1 + y}$；
- 展开：$x(1 + y) = 1 - y$；
- 整理得 $y = \frac{1 - x}{x + 1}$。
第（3）题
关键步骤：代数变形分离变量。
- 交换变量：$x = \frac{ay + b}{cy + d}$；
- 两边乘分母：$x(cy + d) = ay + b$；
- 整理得 $y = \frac{b - xd}{cx - a}$。
第（4）题
关键步骤：利用反正弦函数的单调性。
- 原式 $y = 2\sin 3x$；
- 解得 $\sin 3x = \frac{y}{2}$；
- 取反正弦：$3x = \arcsin\left(\frac{y}{2}\right)$；
- 定义域限制 $y \in [-2, 2]$。
第（5）题
关键步骤：指数化消去对数。
- 原式 $y = 1 + \ln(x + 2)$；
- 移项得 $\ln(x + 2) = y - 1$；
- 取指数：$x = e^{y - 1} - 2$。
第（6）题
关键步骤：分离变量后取对数。
- 原式 $y = \frac{2^x}{2^x + 1}$；
- 两边乘分母：$y(2^x + 1) = 2^x$；
- 整理得 $2^x = \frac{-y}{y - 1}$；
- 取对数：$x = \log_2\left(\frac{-y}{y - 1}\right)$；
- 定义域限制 $y \in (0, 1)$。