题目
13.设n阶可逆矩阵A有一个特征值为2且|A|=6，则A^*的一个特征值为____.
13.设n阶可逆矩阵A有一个特征值为2且$|A|=6$，则$A^{*}$的一个特征值为____.
题目解答
答案
为了求解 $ A^* $ 的一个特征值，我们首先需要利用矩阵的特征值和伴随矩阵的性质。已知 $ A $ 是一个 $ n $ 阶可逆矩阵，且 $ A $ 有一个特征值为 2，同时 $ |A| = 6 $。我们需要找到 $ A^* $ 的一个特征值。
### 步骤1：特征值与伴随矩阵的关系
对于一个 $ n $ 阶可逆矩阵 $ A $，其伴随矩阵 $ A^* $ 的特征值与 $ A $ 的特征值之间有如下关系：
\[ \text{若} \lambda \text{是} A \text{的特征值，则} \frac{|A|}{\lambda} \text{是} A^* \text{的特征值。} \]
### 步骤2：应用已知条件
已知 $ A $ 有一个特征值 $ \lambda = 2 $，且 $ |A| = 6 $。根据上述关系， $ A^* $ 的一个特征值为：
\[ \frac{|A|}{\lambda} = \frac{6}{2} = 3. \]
### 步骤3：结论
因此， $ A^* $ 的一个特征值为 $ 3 $。
### 最终答案
\[
\boxed{3}
\]
解析
步骤 1：特征值与伴随矩阵的关系
对于一个 $ n $ 阶可逆矩阵 $ A $，其伴随矩阵 $ A^* $ 的特征值与 $ A $ 的特征值之间有如下关系：
\[ \text{若} \lambda \text{是} A \text{的特征值，则} \frac{|A|}{\lambda} \text{是} A^* \text{的特征值。} \]
步骤 2：应用已知条件
已知 $ A $ 有一个特征值 $ \lambda = 2 $，且 $ |A| = 6 $。根据上述关系， $ A^* $ 的一个特征值为：
\[ \frac{|A|}{\lambda} = \frac{6}{2} = 3. \]
步骤 3：结论
因此， $ A^* $ 的一个特征值为 $ 3 $。
对于一个 $ n $ 阶可逆矩阵 $ A $，其伴随矩阵 $ A^* $ 的特征值与 $ A $ 的特征值之间有如下关系：
\[ \text{若} \lambda \text{是} A \text{的特征值，则} \frac{|A|}{\lambda} \text{是} A^* \text{的特征值。} \]
步骤 2：应用已知条件
已知 $ A $ 有一个特征值 $ \lambda = 2 $，且 $ |A| = 6 $。根据上述关系， $ A^* $ 的一个特征值为：
\[ \frac{|A|}{\lambda} = \frac{6}{2} = 3. \]
步骤 3：结论
因此， $ A^* $ 的一个特征值为 $ 3 $。