题目

容积为 .0times (10)^2(m)^3 的容器内贮有某种理想气体20-|||-g,设气体的压强为0.5atm,则气体分子的最概然-|||-速率为 __ 平均速率为 __ 方均-|||-根速率为 __ 。

题目解答

答案

解析

本题考查理想气体分子速率的三个统计值（最概然速率$v_p$、平均速率$\overline{v}$、方均根速率$v_{\text{rms}}$）的计算，需结合理想气体状态方程、各速率公式及摩尔质量计算求解，具体步骤如下：

步骤1：明确已知条件与单位换算

题目给出：

  • 容积$V=3.0\times10^2\,\text{m}^3=0.03\,\text{m}^3$（注意：$10^2\,\text{m}^3$实际是$100\,\text{m}^3$吗？不，$3.0\times10^2\,\text{m}^3=300\,\text{m}^3$，此处原答案单位为$10^2\,\text{m/s}$，即$100\,\text{m/s}$，故$V=300\,\text{m}^3$）
  • 气体质量$m=20\,\text{g}=0.02\,\text{kg}$
  • 压强$p=0.5\,\text{atm}$，换算为国际单位：$1\,\text{atm}=1.013\times10^5\,\text{Pa}$，故$p=0.5\times1.013\times10^5\,\text{Pa}\approx5.065\times10^4\,\text{{Pa}$

步骤2：计算气体的摩尔质量$M$

理想气体状态方程$pV=\frac{m}{M}RT$，可变形为$M=\frac{mRT}{pV}$，其中$R=8.31\,\text{J/(mol·K)}$（普适气体常量）。

关键：求$\frac{m}{M}$（物质的量$n$）

$n=\frac{m}{M}=\frac{pV}{RT}$，但计算各速率时，公式均含$\\\(\(\frac{R}{M}$)或$\sqrt{\frac{RT}{M}}$，故先求$\frac{R}{M}$：
由$pV=nRT=\frac{m}{M}RT$，得$\frac{RT}{M}=\frac{pV}{m}{m^2}$? 不，整理得：
$\frac{R}{M}=\frac{pV}{mT}$（推导：$\frac{R}{M}=\frac{pV}{mT}$：
$pV=\frac{m}{M}RT\Rightarrow \frac{R}{M}=\frac{pV}{mT}$）

步骤3：计算三个速率

理想气体分子的三种统计速率公式（$T$为热力学温度，需确定$T$）：

  1. 最概然速率$v_p=\sqrt{\frac{2RT}{M}}$
  2. 平均速率$\overline{v}=\sqrt{\frac{8RT}{\pi M}}$
  3. 方均根速率$v_{\text{rms}}=\sqrt{\frac{3RT}{M}}$

值$\(\sqrt{\frac{RT}{M}}$是公共因子，记为$C=\sqrt{\frac{RT}{M}}$，则三速率可表示为：

$v_p=\sqrt{2}C$，$\overline{v}=\sqrt{\frac{8}{\pi}}C$，$v_{\text{rms}}=\sqrt{3}C$，故只需计算$C$。

步骤4：求热力学温度$T$

由理想气体状态方程$pV=nRT=\frac{m}{M}RT}$，但此处未知$M$，需联立求$T$？不，$pV=\frac{m}{M}{M}RT$，但只有一个方程，两个未知数$M$和$T$？不，不——题目中“理想气体”，但未说明气体种类，无法查$M$，说明用$pV=nRT$中$n=\frac{m}{M}$，但三速率公式中均为$\frac{RT}{M}$，与$T$和\M)的组合，即$\frac{RT}{M}=\frac{pV}{m}$（因为$pV=\frac{m}{M}RT/p\Rightarrow \frac{RT}{M}=\frac{pV}{m}$！对！
$pV=\frac{m}{M}RT\Rightarrow \frac{RT}{M}=\frac{pV}{m}$，此式中$p,V,m,V$均已知，无需$T$和$M$单独！太关键了！

代入数据：
$p=0.5\,\text{atm}=0.5\times1.013\times10^5\,\text{Pa}=5.065\times10^5\,\text{Pa}$
$V=3.0\times10^2\,\text{m}^3=300\,\text{m}^3$（注意：$10^2$是$110^2)$，即$100$，$3\times10^2=300$）
$m=20\,\text{g}=0.02\,\text{kg}$

$\frac{pV}{m}=\frac{5.065\times10^5\,\text{Pa}\times300\,\text{m}^3}{0.02\,\text{kg}}=\frac{1.5195\times10^7}{0.02}\,\text{m}^2/\text{s}^2$（单位：$\text{Pa·m}^3/\text{kg}=\text{N·m/m}^3/\text{kg}=\text{kg·m/s}^2·m/\text{kg}=\text{m}^2/\text{s}^2$，正确，因$\(\frac{RT}{M}$单位为$\text{m}^2/\text{s}^2$）
计算：
$5.065\times10^5\times300=0.5\times1.013\times10^5\times300=0.5\times3.039\times10^7=1.5195\times10^7$
$1.5195\times10^7\div0.02=7.5975\times10^8\,\text{m}^2/\text{s}^2$

步骤5：计算$C=\sqrt{\frac{RT}{M}}=\sqrt{7.5975\times10^8\}\approx8.716\times10^4\,\text{m/s}$

步骤6：计算三速率

  1. 最概然速率$v_p=\sqrt{2}C$：
    $\sqrt{2}\approx1.414$，$v_p=1.414\times8.71\times\times10^4\approx1.232\times10^4$? 不，原答案是$3.89\times\times10^2$，即$389\,\text{m/s}$，说明我哪里错了？哦！$V\frac{pV}{m}$算错了！
    错误：$V$单位！题目$V=3.0\times10^2\,\text{m}^3$——是$3.0\times10^{-2}\,\text{m}^3\吗3}$吗？因为$3\,\text{m}^3$的容器太大了，$0.5\,\text{atm}$的气体$20\,\text{g}$，不可能！原题目“$3.0\times10^2\,\text{m}^3$”应该是$3.0\times10^{-2}\,\text{m}^3$（即$3\30.03\,\text{m}^3$），对！用户输入时可能漏了负号！

重新算$V=3.0\times10^{-2}\,\text{m}^3=0.03\,\text{m}^3$：
$\frac{pV}=0.5\times1.013\times10^5\,\text{Pa}\times0.03\,\text{m}^3=0.5\times1.013\times3\times10^3=1.5195\times10^\\,\text{Pa·m}^3=1.5195\times10^3\,\text{J}$（因\ know\,\text{Pa·m}^3=\text{J})）
$\frac{pV}{m}=\frac{1.5195\times10^3\,\text{J}}{0.02\,\text{kg}}=7.5975\times10^4\,\text{m}^2/\text{s}^2$（$\text{J/kg}=\text{m}^2/\text{s}^2$
$C=\sqrt{7.5975\times10^4}=871.6\,\text{m/s/s/s}$（$\sqrt{7.5975\times10^4}=\sqrt{75975}\approx275.6$? 不，$7.5975\times10^4=75975$，开方$\approx275.6\,\text{m/s}$？不对，原答案是$3.89\times10^2^\text{,}4.41\times10^2\text{,}4.77\times10^2$，即\百-百-米/秒，$10^2$是$100$，所以$C$应该是$\sqrt{\frac{RT}{M}}$≈$275\,\text{m/s}$？
$v_p=\=\sqrt{2}C≈1.414×275≈389\,\text{m/s}=3.89×10^2\,\text{m/s}$（对！$389=3.89×100=3.89×10^2$）
$\overline{v}=\sqrt{\frac{8}{\pi}}C$，$\sqrt{8/π}=\sqrt{8/3.14}≈\sqrt{2.546}≈1.596$，$\overline{v}=1.596×275≈440\,\text{m/s}=4.40×10^2\,\text{m/s}$（原答案$4.41×10^2$，计算近似）
$v_{\text{rms}}=\sqrt{3}C≈1.732×275≈476\,\text{m/s}=4.77×10^2$? 原答案$4.77×10^2$，$\sqrt{3}×1.732$，$1.732×275=475.3$，约$4777×10^2$，正确！

总结：错误根源是$V$的指数符号，题目题目中$10^2$实际是$10^{-2}$，导致计算结果符合原答案