题目

九、(5分)设A是n阶正交矩阵,其中n为奇数,且|A|=1,证明:矩阵|A|=1不可逆。

九、(5分)设A是n阶正交矩阵,其中n为奇数,且 $|A|=1$ ,证明:矩阵 $E-A$ 不可逆。

题目解答

答案

$∵$ $A是正交矩阵$

$∴$ $AA^T=E$

$\begin{aligned} & |E-A|=\left|AA^{T}-A\right|=|A|\left|A^{T}-E\right|\\ & =|A|\left|(A-E)^{T}\right|=|A|\left|A-E\right|\\ & =|A|\left|-(E-A)\right|=(-1)^{n}|E-A|\\ & \therefore|E-A|=0\\ & \text{}\end{aligned}$

$∴$ $E-A$ 不可逆