11.[单选题]设两个事件A与B相互独立，且只有A发生的概率为(4)/(9)，只有B发生的概率为(1)/(9)，则P(A)=（）A. (1)/(3)B. (2)/(3)C. (4)/(9)D. (8)/(9)

本题考查相互独立事件的概率计算。解题思路是先根据事件的关系表示出“只有$A$发生”和“只有$B$发生”的概率，再结合相互独立事件的概率公式列出方程组，最后求解方程组得到$P(A)$的值。

步骤一：表示出“只有$A$发生”和“只有$B$发生”的概率

• “只有$A$发生”意味着$A$发生且$B$不发生，可表示为$A\overline{B}$。
• “只有$B$发生”意味着$B$发生且$A$不发生，可表示为$\overline{A}B$。

步骤二：根据相互独立事件的概率公式列出方程

已知事件$A$与$B$相互独立，则$A$与$\overline{B}$，$\overline{A}$与$B$也相互独立。
根据相互独立事件的概率公式：若事件$M$与$N$相互独立，则$P(MN)=P(M)P(N)$，可得：
$P(A\overline{B}) = P(A)P(\overline{B})$
因为$P(\overline{B}) = 1 - P(B)$，所以$P(A\overline{B}) = P(A)[1 - P(B)]$。
同理，$P(\overline{A}B) = P(\overline{A})P(B)=[1 - P(A)]P(B)$。

已知$P(A\overline{B})=\frac{4}{9}$，$P(\overline{A}B)=\frac{1}{9}$，则可得到方程组：
$\begin{cases}P(A)[1 - P(B)] = \frac{4}{9}&(1)\\[1 - P(A)]P(B) = \frac{1}{9}&(2)\end{cases}$

步骤三：求解方程组

由$(1)$式可得$P(A) - P(A)P(B) = \frac{4}{9}$ $(3)$；
由$(2)$式可得$P(B) - P(A)P(B) = \frac{1}{9}$ $(4)$；
$(3)$式减去$(4)$式可得：
$\begin{align*}P(A) - P(A)P(B) - (P(B) - P(A)P(B))&=\frac{4}{9} - \frac{1}{9}\\P(A) - P(A)P(B) - P(B) + P(A)P(B)&=\frac{1}{3}\\P(A) - P(B)&=\frac{1}{3}\\P(B)&=P(A) - \frac{1}{3}\end{align*}$
将$P(B)=P(A) - \frac{1}{3}$代入$(1)$式可得：
$\begin{align*}P(A)[1 - (P(A) - \frac{1}{3})]&=\frac{4}{9}\\P(A)(1 - P(A) + \frac{1}{3})&=\frac{4}{9}\\P(A)(\frac{4}{3} - P(A))&=\frac{4}{9}\\\frac{4}{3}P(A) - P(A)^2&=\frac{4}{9}\\9P(A)^2 - 12P(A) + 4&=0\\(3P(A) - 2)^2&=0\end{align*}$
则$3P(A) - 2 = 0$，解得$P(A)=\frac{2}{3}$。