题目

一、单选题（共30题，45.0分） 题型说明：单选题 7.（单选题，1.5分） 当x→0时，sin2x/x的极限为（） A. 0 B. 1 C. 2 D. ∞

一、单选题（共30题，45.0分） 题型说明：单选题 7.（单选题，1.5分） 当x→0时，sin2x/x的极限为（）
A. 0
B. 1
C. 2
D. ∞

题目解答

答案

为了求解当 $ x \to 0 $ 时， $ \frac{\sin 2x}{x} $ 的极限，我们可以使用洛必达法则或者利用已知的极限公式。这里，我们使用已知的极限公式 $ \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 $。 首先，我们可以将 $ \frac{\sin 2x}{x} $ 进行变形，以便使用这个已知的极限公式。我们有： \[ \frac{\sin 2x}{x} = \frac{\sin 2x}{2x} \cdot 2 \] 现在，当 $ x \to 0 $ 时， $ 2x \to 0 $。因此，我们可以使用极限公式 $ \lim_{u \to 0} \frac{\sin u}{u} = 1 $，其中 $ u = 2x $。所以，我们得到： \[ \lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x}{x} = \lim_{x \to 0} \left( \frac{\sin 2x}{2x} \cdot 2 \right) = \left( \lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x}{2x} \right) \cdot 2 = 1 \cdot 2 = 2 \] 因此，当 $ x \to 0 $ 时， $ \frac{\sin 2x}{x} $ 的极限为 $ 2 $。 答案是：$\boxed{C}$

解析

考查要点：本题主要考查极限的计算，特别是利用等价无穷小替换或洛必达法则处理形如$\frac{\sin kx}{x}$的极限问题。

解题核心思路：
当$x \to 0$时，$\sin kx$与$kx$是等价无穷小，因此$\frac{\sin kx}{x}$的极限为$k$。本题中$k=2$，直接应用即可。若不熟悉等价无穷小，也可通过洛必达法则对分子分母分别求导求解。

破题关键点：

  1. 识别极限形式：分子为$\sin 2x$，分母为$x$，属于$\frac{0}{0}$型不定式。
  2. 选择方法：优先使用等价无穷小替换，或通过洛必达法则求导。

方法一：等价无穷小替换
当$x \to 0$时，$\sin 2x \sim 2x$，因此：
$\lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{2x}{x} = \lim_{x \to 0} 2 = 2.$

方法二：洛必达法则
对分子$\sin 2x$和分母$x$分别求导：
$\lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{(\sin 2x)'}{(x)'} = \lim_{x \to 0} \frac{2\cos 2x}{1} = 2 \cdot \cos 0 = 2 \cdot 1 = 2.$