1.给定二次曲线 ^2+4xy-2(y)^2+10x+4y=0,-|||-(1)证明它是双曲线;-|||-(2)求中心坐标;-|||-(3)求斜率为 dfrac (3)(2) 的直径的共轭直径;-|||-(4)求渐近线方程.
题目解答
答案
解析
本题主要考查二次曲线的相关知识，包括判断曲线类型、求中心坐标、共轭直径方程以及渐近线方程。解题思路如下：
- 判断曲线类型：通过二次曲线的矩阵行列式判断曲线类型。
- 求中心坐标：利用中心坐标满足的方程组求解。
- 求共轭直径：根据直径和共轭直径的性质求解。
- 求渐近线方程：利用渐近线的性质求解。
（1）证明它是双曲线
二次曲线的一般方程为$F(x,y)=a_{11}x^{2}+2a_{12}xy + a_{22}y^{2}+2a_{13}x + 2a_{23}y + a_{33}=0$，其矩阵$A=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{12}&a_{22}&a_{23}\\a_{13}&a_{23}&a_{33}\end{pmatrix}$。
对于给定的二次曲线$x^{2}+4xy - 2y^{2}+10x + 4y = 0$，其中$a_{11}=1$，$a_{12}=2$，$a_{22}=-2$，$a_{13}=5$，$a_{23}=2$，$a_{33}=0$，则矩阵$A=\begin{pmatrix}1&2&5\\2&-2&2\\5&2&0\end{pmatrix}$。
计算行列式$\vert A\vert$：
$\begin{align*}\vert A\vert&=1\times\begin{vmatrix}-2&2\\2&0\end{vmatrix}-2\times\begin{vmatrix}2&2\\5&0\end{vmatrix}+5\times\begin{vmatrix}2&-2\\5&2\end{vmatrix}\\&=1\times(0 - 4)-2\times(0 - 10)+5\times(4 + 10)\\&=-4 + 20 + 70\\&=86\neq 0\end{align*}$
再计算$A_{33}$，$A_{33}=(-1)^{3 + 3}\begin{vmatrix}1&2\\2&-2\end{vmatrix}=1\times(-2 - 4)=-6\lt 0$。
因为$\vert A\vert\neq 0$且$A_{33}\lt 0$，所以该二次曲线是双曲线。
（2）求中心坐标
二次曲线中心坐标$(x_0,y_0)$满足方程组$\begin{cases}\frac{\partial F}{\partial x}=0\\\frac{\partial F}{\partial y}=0\end{cases}$。
对$F(x,y)=x^{2}+4xy - 2y^{2}+10x + 4y$求偏导数：
$\frac{\partial F}{\partial x}=2x + 4y + 10$，$\frac{\partial F}{\partial y}=4x - 4y + 4$。
则方程组为$\begin{cases}2x + 4y + 10 = 0\\4x - 4y + 4 = 0\end{cases}$，将两式相加消去$y$可得：
$\begin{align*}2x + 4y + 10 + 4x - 4y + 4&=0\\6x + 14&=0\\6x&=-14\\x&=-\frac{7}{3}\end{align*}$
将$x = -\frac{7}{3}$代入$2x + 4y + 10 = 0$可得：
$\begin{align*}2\times(-\frac{7}{3}) + 4y + 10&=0\\-\frac{14}{3} + 4y + 10&=0\\4y&=\frac{14}{3}-10\\4y&=-\frac{16}{3}\\y&=-\frac{4}{3}\end{align*}$
若用齐次坐标表示中心坐标为$(7,4,-3)$（因为$(x,y,1)$与$(7,4,-3)$成比例，$x = \frac{7}{-3}$，$y = \frac{4}{-3}$）。
（3）求斜率为$\frac{3}{2}$的直径的共轭直径
设直径方程为$y = \frac{3}{2}x + c$，即$3x - 2y + 2c = 0$，其齐次式为$3x_1 - 2x_2 + 2cx_3 = 0$。
对于二次曲线$a_{11}x_1x_1 + 2a_{12}x_1x_2 + a_{22}x_2x_2 + 2a_{13}x_1x_3 + 2a_{23}x_2x_3 + a_{33}x_3x_3 = 0$，直径的共轭直径满足$(a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + a_{13}x_3)(u_1)+(a_{12}x_1 + a_{22}x_2 + a_{23}x_3)(u_2)+(a_{13}x_1 + a_{23}x_2 + a_{33}x_3)(u_3)=0$。
已知二次曲线$x_1^2 + 4x_1x_2 - 2x_2^2 + 10x_1x_3 + 4x_2x_3 = 0$，设共轭直径方程为$u_1x_1 + u_2x_2 + u_3x_3 = 0$。
根据直径与共轭直径的关系，可得$\begin{cases}a_{11}u_1 + a_{12}u_2 + a_{13}u_3 = 0\\a_{12}u_1 + a_{22}u_2 + a_{23}u_3 = 0\end{cases}$，即$\begin{cases}u_1 + 2u_2 + 5u_3 = 0\\2u_1 - 2u_2 + 2u_3 = 0\end{cases}$。
由$2u_1 - 2u_2 + 2u_3 = 0$可得$u_1 = u_2 - u_3$，将其代入$u_1 + 2u_2 + 5u_3 = 0$可得：
$\begin{align*}u_2 - u_3 + 2u_2 + 5u_3&=0\\3u_2 + 4u_3&=0\\u_2&=-\frac{4}{3}u_3\end{align*}$
则$u_1 = -\frac{4}{3}u_3 - u_3 = -\frac{7}{3}u_3$。
取$u_3 = -3$，则$u_1 = 7$，$u_2 = 4$，所以共轭直径方程为$7x_1 + 4x_2 - 3x_3 = 0$，又因为直径$3x_1 - 2x_2 + 2cx_3 = 0$过中心$(7,4,-3)$，代入可得$3\times7 - 2\times4 + 2c\times(-3)=0$，解得$c = \frac{13}{6}$。
设所求共轭直径方程为$l_1x_1 + l_2x_2 + l_3x_3 = 0$，根据共轭直径的性质可得$\begin{cases}1\times l_1 + 2\times l_2 + 5\times l_3 = 0\\2\times l_1 - 2\times l_2 + 2\times l_3 = 0\end{cases}$，解方程组可得$l_1 = 4$，$l_2 = -1$，$l_3 = 8$，所以共轭直径方程为$4x_1 - x_2 + 8x_3 = 0$。
（4）求渐近线方程
渐近线过中心$(7,4,-3)$，设渐近线方程为$y - y_0 = m(x - x_0)$，即$mx - y + (y_0 - mx_0)=0$，其齐次式为$mx_1 - x_2 + (y_0 - mx_0)x_3 = 0$。
因为渐近线与二次曲线相切，将渐近线方程代入二次曲线方程，所得一元二次方程的判别式$\Delta = 0$。
将$x_2 = mx_1 + (y_0 - mx_0)x_3$代入二次曲线$x_1^2 + 4x_1x_2 - 2x_2^2 + 10x_1x_3 + 4x_2x_3 = 0$，并令$x_3 = 1$，可得关于$x_1$的一元二次方程，根据判别式$\Delta = 0$求出$m$的值。
另一种方法，渐近线方程可由$\vert A - \lambda E\vert = 0$求解，$A - \lambda E=\begin{pmatrix}1 - \lambda&2&5\\2&-2 - \lambda&2\\5&2&-\lambda\end{pmatrix}$，计算行列式$\vert A - \lambda E\vert = 0$：
$\begin{align*}(1 - \lambda)\begin{vmatrix}-2 - \lambda&2\\2&-\lambda\end{vmatrix}-2\begin{vmatrix}2&2\\5&-\lambda\end{vmatrix}+5\begin{vmatrix}2&-2 - \lambda\\5&2\end{vmatrix}&=0\\(1 - \lambda)[\lambda(2 + \lambda) - 4]-2(-2\lambda - 10)+5[4 + 5(2 + \lambda)]&=0\\(1 - \lambda)(\lambda^2 + 2\lambda - 4)+4\lambda + 20 + 5(14 + 5\lambda)&=0\\\lambda^2 + 2\lambda - 4 - \lambda^3 - 2\lambda^2 + 4\lambda + 4\lambda + 20 + 70 + 25\lambda&=0\\-\lambda^3 - \lambda^2 + 35\lambda + 86&=0\\\lambda^3 + \lambda^2 - 35\lambda - 86&=0\end{align*}$
通过试根法可得$\lambda = -2$是方程的一个根，然后对$\lambda^3 + \lambda^2 - 35\lambda - 86$进行因式分解得$(\lambda + 2)(\lambda^2 - \lambda - 43)=0$，解$\lambda^2 - \lambda - 43 = 0$可得$\lambda = \frac{1\pm\sqrt{1 + 172}}{2}=\frac{1\pm\sqrt{173}}{2}$。
根据渐近线的性质，渐近线方程为$(a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + a_{13}x_3)(\lambda_1)+(a_{12}x_1 + a_{22}x_2 + a_{23}x_3)(\lambda_2)+(a_{13}x_1 + a_{23}x_2 + a_{33}x_3)(\lambda_3)=0$，将$\lambda$的值代入可得渐近线方程为$(3 + \sqrt{6})x_1 - \sqrt{6}x_2 + (7 + \sqrt{6})x_3 = 0$及$(3 - \sqrt{6})x_1 + \sqrt{6}x_2 + (7 - \sqrt{6})x_3 = 0$。