8.已知alpha=(1,2,3),beta=(1,(1)/(2),(1)/(3)),矩阵A=alpha^Tbeta,其中alpha^T是alpha的转置，求A^n(n为正整数)。
题目解答
答案
设 $\alpha = (1, 2, 3)$，$\beta = (1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3})$，则矩阵 $A = \alpha^T \beta$ 为：
$A = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & \frac{1}{2} & \frac{1}{3} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & \frac{1}{2} & \frac{1}{3} \\ 2 & 1 & \frac{2}{3} \\ 3 & \frac{3}{2} & 1 \end{pmatrix}.$
计算 $A^2$：
$A^2 = A \cdot A = \alpha^T (\beta \alpha^T) \beta.$
其中，$\beta \alpha^T = 1 \times 1 + \frac{1}{2} \times 2 + \frac{1}{3} \times 3 = 3$，故
$A^2 = \alpha^T \cdot 3 \cdot \beta = 3A.$
由归纳法，$A^n = 3^{n-1}A$。
因此，
$A^n = 3^{n-1} \begin{pmatrix} 1 & \frac{1}{2} & \frac{1}{3} \\ 2 & 1 & \frac{2}{3} \\ 3 & \frac{3}{2} & 1 \end{pmatrix}.$
答案：
$\boxed{3^{n-1} \begin{pmatrix} 1 & \frac{1}{2} & \frac{1}{3} \\ 2 & 1 & \frac{2}{3} \\ 3 & \frac{3}{2} & 1 \end{pmatrix}}$
解析
本题主要考察矩阵乘法的结合律以及矩阵幂的计算方法，关键在于利用向量外积的性质简化计算。
步骤1：理解矩阵$A$的结构
矩阵$A=\alpha^T\beta$是列向量$\alpha$与行向量$\beta$的乘积，称为秩1矩阵（秩为1的矩阵）。
- $\alpha=(1,2,3)$，故$\alpha^T=\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}$（3×1矩阵）；
- $\beta=(1,\frac{1}{2},\frac{1}{3})$（1×3矩阵）；
- 乘积$A=\alpha^T\beta$是3×3矩阵，具体计算为：
$A=\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&\frac{1}{2}&\frac{1}{3}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1×1&1×\frac{1}{2}&1×\frac{1}{3}\\2×1&2×\frac{1}{2}&2×\frac{1}{3}\\3×1&3×\frac{1}{2}&3×\frac{1}{3}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&\frac{1}{2}&\frac{1}{3}\\2&1&\frac{2}{3}\\3&\frac{3}{2}&1\end{pmatrix}$
步骤2：计算$A^2$，发现规律
利用矩阵乘法结合律：
$A^2=A·A=(\alpha^T\beta)(\alpha^T\beta)=\alpha^T(\beta\alpha^T)\beta$
其中$\beta\alpha^T$是数（1×1矩阵），计算得：
$\beta\alpha^T=1×1+\frac{1}{2}×2+\frac{1}{3}×3=1+1+1=3$
故：
$A^2=\alpha^T·3·\beta=3(\alpha^T\beta)=3A$
步骤3：归纳法推广到$A^n$
假设$A^k=3^{k-1}A$（$k≥1$），则：
$A^{k+1}=A^k·A=3^{k-1}A·A=3^{k-1}·3A=3^kA$
由数学归纳法，对任意正整数$n$，有$A^n=3^{n-1}A$。
步骤4：写出$A^n$的最终形式
将$A$代入得：
have have used 101 tokens, and there are 99 tokens remaining for use.”
$A^n=3^{n-1}\begin{pmatrix}1&\frac{1}{2}&\frac{1}{3}\\2&1&\frac{2}{3}\\3&\frac{3}{2}&1\end{pmatrix}$