题目
6.计算下列对面积的曲面积分:-|||-(2) iint (2xy-2(x)^2-x+z)dS, 其中∑为平面 2x+2y+z=6 在第一卦限中的部分;
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定曲面方程和投影区域
曲面方程为 $2x + 2y + z = 6$，在第一卦限中，$x \geq 0$，$y \geq 0$，$z \geq 0$。将 $z$ 表示为 $x$ 和 $y$ 的函数，得到 $z = 6 - 2x - 2y$。曲面在 $xOy$ 平面上的投影区域 $D_{xy}$ 由 $x$ 轴、$y$ 轴和直线 $x + y = 3$ 所围成的三角形闭区域。
步骤 2：计算曲面积分
曲面积分 $\iint_{\sum} (2xy - 2x^2 - x + z) dS$ 可以转化为二重积分 $\iint_{D_{xy}} (2xy - 2x^2 - x + z) \sqrt{1 + (\frac{\partial z}{\partial x})^2 + (\frac{\partial z}{\partial y})^2} dxdy$。其中，$\frac{\partial z}{\partial x} = -2$，$\frac{\partial z}{\partial y} = -2$，所以 $\sqrt{1 + (\frac{\partial z}{\partial x})^2 + (\frac{\partial z}{\partial y})^2} = \sqrt{1 + (-2)^2 + (-2)^2} = 3$。因此，原积分变为 $\iint_{D_{xy}} (2xy - 2x^2 - x + 6 - 2x - 2y) \cdot 3 dxdy$。
步骤 3：计算二重积分
将积分区域 $D_{xy}$ 表示为 $0 \leq x \leq 3$，$0 \leq y \leq 3 - x$，则原积分变为 $3 \int_{0}^{3} \int_{0}^{3-x} (2xy - 2x^2 - x + 6 - 2x - 2y) dy dx$。计算内层积分 $\int_{0}^{3-x} (2xy - 2x^2 - x + 6 - 2x - 2y) dy$，得到 $(6 - 3x - 2x^2)(3 - x) + x(3 - x)^2 - (3 - x)^2$。然后计算外层积分 $\int_{0}^{3} [(6 - 3x - 2x^2)(3 - x) + x(3 - x)^2 - (3 - x)^2] dx$，得到 $-\frac{27}{4}$。
曲面方程为 $2x + 2y + z = 6$，在第一卦限中，$x \geq 0$，$y \geq 0$，$z \geq 0$。将 $z$ 表示为 $x$ 和 $y$ 的函数，得到 $z = 6 - 2x - 2y$。曲面在 $xOy$ 平面上的投影区域 $D_{xy}$ 由 $x$ 轴、$y$ 轴和直线 $x + y = 3$ 所围成的三角形闭区域。
步骤 2：计算曲面积分
曲面积分 $\iint_{\sum} (2xy - 2x^2 - x + z) dS$ 可以转化为二重积分 $\iint_{D_{xy}} (2xy - 2x^2 - x + z) \sqrt{1 + (\frac{\partial z}{\partial x})^2 + (\frac{\partial z}{\partial y})^2} dxdy$。其中，$\frac{\partial z}{\partial x} = -2$，$\frac{\partial z}{\partial y} = -2$，所以 $\sqrt{1 + (\frac{\partial z}{\partial x})^2 + (\frac{\partial z}{\partial y})^2} = \sqrt{1 + (-2)^2 + (-2)^2} = 3$。因此，原积分变为 $\iint_{D_{xy}} (2xy - 2x^2 - x + 6 - 2x - 2y) \cdot 3 dxdy$。
步骤 3：计算二重积分
将积分区域 $D_{xy}$ 表示为 $0 \leq x \leq 3$，$0 \leq y \leq 3 - x$，则原积分变为 $3 \int_{0}^{3} \int_{0}^{3-x} (2xy - 2x^2 - x + 6 - 2x - 2y) dy dx$。计算内层积分 $\int_{0}^{3-x} (2xy - 2x^2 - x + 6 - 2x - 2y) dy$，得到 $(6 - 3x - 2x^2)(3 - x) + x(3 - x)^2 - (3 - x)^2$。然后计算外层积分 $\int_{0}^{3} [(6 - 3x - 2x^2)(3 - x) + x(3 - x)^2 - (3 - x)^2] dx$，得到 $-\frac{27}{4}$。