题目
设随机变量 (X,Y) 的联合分布密度函数为 F(x,y)，则 P(X >a,Y >b)=_____。 A. 1-F(a,b)；B. F(a,+infty)+F(+infty,b)；C. F(a,b)+1-F(a,+infty)-F(+infty,b)；D. F(a,b)-1+F(a,+infty)-F(+infty,b)。
设随机变量 $(X,Y)$ 的联合分布密度函数为 $F(x,y)$，则 $P(X >a,Y >b)=\_\_\_\_\_$。
- A. $1-F(a,b)$；
- B. $F(a,+\infty)+F(+\infty,b)$；
- C. $F(a,b)+1-F(a,+\infty)-F(+\infty,b)$；
- D. $F(a,b)-1+F(a,+\infty)-F(+\infty,b)$。
题目解答
答案
根据联合分布函数的定义，$F(x, y) = P(X \leq x, Y \leq y)$。利用补集和包含-排除原理，可得：
\[ P(X > a, Y > b) = 1 - P(X \leq a \text{ 或 } Y \leq b) \]
其中，
\[ P(X \leq a \text{ 或 } Y \leq b) = P(X \leq a) + P(Y \leq b) - P(X \leq a, Y \leq b) \]
代入联合分布函数得：
\[ P(X \leq a) = F(a, +\infty), \quad P(Y \leq b) = F(+\infty, b), \quad P(X \leq a, Y \leq b) = F(a, b) \]
因此，
\[ P(X > a, Y > b) = 1 - [F(a, +\infty) + F(+\infty, b) - F(a, b)] \]
化简得：
\[ P(X > a, Y > b) = F(a, b) + 1 - F(a, +\infty) - F(+\infty, b) \]
答案：$\boxed{C}$
解析
考查要点：本题主要考查联合分布函数的定义及其应用，涉及概率的补集性质和包含-排除原理。
解题核心思路：
- 利用补集思想：将所求概率转化为1减去其补集概率。
- 分解补集事件：补集事件为“$X \leq a$ 或 $Y \leq b$”，需用包含-排除原理展开。
- 关联联合分布函数：将各部分概率用联合分布函数$F(x,y)$表示，特别注意边缘分布的表达方式。
破题关键点：
- 明确联合分布函数的定义：$F(a,b) = P(X \leq a, Y \leq b)$。
- 边缘分布的表达：$P(X \leq a) = F(a, +\infty)$，$P(Y \leq b) = F(+\infty, b)$。
步骤1：补集转化
根据概率的补集性质，有：
$P(X > a, Y > b) = 1 - P(X \leq a \text{ 或 } Y \leq b)$
步骤2：应用包含-排除原理
将右侧概率展开为：
$P(X \leq a \text{ 或 } Y \leq b) = P(X \leq a) + P(Y \leq b) - P(X \leq a, Y \leq b)$
步骤3：用联合分布函数表示各部分
- $P(X \leq a) = F(a, +\infty)$（当$Y$趋向无穷大时，联合分布函数仅保留$X$的约束）。
- $P(Y \leq b) = F(+\infty, b)$（同理，当$X$趋向无穷大时，仅保留$Y$的约束）。
- $P(X \leq a, Y \leq b) = F(a, b)$（直接由定义得出）。
步骤4：代入并化简
将上述结果代入步骤2的展开式：
$P(X \leq a \text{ 或 } Y \leq b) = F(a, +\infty) + F(+\infty, b) - F(a, b)$
因此，原概率为：
$P(X > a, Y > b) = 1 - \left[ F(a, +\infty) + F(+\infty, b) - F(a, b) \right]$
整理得：
$P(X > a, Y > b) = F(a, b) + 1 - F(a, +\infty) - F(+\infty, b)$