w=1/z 将 z 平面上 x^2 + y^2 = 4 映射成 w 平面上的A. 直线B. u+v=1C. u^2+v^2=1/4D. 以上都不对

本题考查复变函数的映射问题，解题思路是先将$z$和$w$用实部和虚部表示，再根据已知的$z$平面上的曲线方程，通过$w = \frac{1}{z}$的关系推导出$w$平面上的曲线方程。

1. 设$z=x + iy$，$w = u+iv$，已知$w=\frac{1}{z}$，则$u + iv=\frac{1}{x + iy}$。
2. 为了将分母实数化，给$\frac{1}{x + iy}$的分子分母同时乘以$x - iy$，根据$(a+b)(a - b)=a^{2}-b^{2}$以及$i^{2}=-1$可得：
   • $u + iv=\frac{1}{x + iy}\times\frac{x - iy}{x - iy}=\frac{x - iy}{x^{2}+y^{2}}=\frac{x}{x^{2}+y^{2}}-i\frac{y}{x^{2}+y^{2}}$。
   • 由此可得$u=\frac{x}{x^{2}+y^{2}}$，$v =-\frac{y}{x^{2}+y^{2}}$。
3. 已知$z$平面上的曲线方程为$x^{2}+y^{2}=4$，将其代入$u$和$v$的表达式中：
   • 把$x^{2}+y^{2}=4$代入$u=\frac{x}{x^{2}+y^{2}}$，可得$u=\frac{x}{4}$，即$x = 4u$。
   • 把$x^{2}+y^{2}=4$代入$v=-\frac{y}{x^{2}+y^{2}}$，可得$v=-\frac{y}{4}$，即$y=-4v$。
4. 将$x = 4u$，$y = - 4v$代入$x^{2}+y^{2}=4$中：
   • 得到$(4u)^{2}+(-4v)^{2}=4$。
   • 根据积的乘方公式$(ab)^n=a^nb^n$，则$16u^{2}+16v^{2}=4$。
   • 方程两边同时除以$16$，可得$u^{2}+v^{2}=\frac{4}{16}=\frac{1}{4}$。