设 L 是圆周 x^2 + y^2 = a^2，逆时针方向. 则曲线积分 oint_(L) (-ydx + xdy)/(x^2 + y^2) = ( ).A. pi aB. 2piC. piD. 0

考查要点：本题主要考查曲线积分的计算方法，特别是对闭合曲线积分的理解，以及如何处理积分路径包围奇点的情况。

解题核心思路：

1. 参数方程法：将圆周方程参数化为三角函数形式，直接代入积分表达式计算。
2. 格林公式法：需注意积分路径是否包围奇点（原点），若包围则需修正格林公式的应用。

破题关键点：

• 分母简化：圆周方程为$x^2 + y^2 = a^2$，分母$x^2 + y^2$可直接替换为$a^2$，简化积分式。
• 奇点处理：若使用格林公式，需意识到原点处的奇点导致积分结果不为零，此时需结合环路积分的性质或参数方程法直接计算。

方法一：参数方程法

1. 参数化圆周：
   圆周方程$x^2 + y^2 = a^2$的参数方程为：
   $x = a \cos t, \quad y = a \sin t \quad (t \in [0, 2\pi]).$
2. 计算微分：
   $dx = -a \sin t \, dt, \quad dy = a \cos t \, dt.$
3. 代入积分式：
   分子$-ydx + xdy$展开为：
   $-ydx = -a \sin t \cdot (-a \sin t \, dt) = a^2 \sin^2 t \, dt,$
   $xdy = a \cos t \cdot a \cos t \, dt = a^2 \cos^2 t \, dt.$
   分母$x^2 + y^2 = a^2$，因此积分式化简为：
   $\oint_{L} \frac{-ydx + xdy}{a^2} = \frac{1}{a^2} \int_{0}^{2\pi} (a^2 \sin^2 t + a^2 \cos^2 t) \, dt = \int_{0}^{2\pi} dt = 2\pi.$

方法二：格林公式法（修正奇点）

1. 格林公式形式：
   $\oint_{L} Pdx + Qdy = \iint_{D} \left( \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right) dxdy.$
   但原点处奇点导致$\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} = 0$，需挖去原点的小圆弧$L_\epsilon$，此时积分值为$2\pi$（与路径无关，仅与圈数相关）。