旋转抛物面 z = x^2 + y^2 与三个坐标面以及平面 x + y = 1 所围成的立体体积为(）。A. (1)/(6)B. (1)/(3)C. (1)/(2)D. (1)/(12)

本题考查利用二重积分求旋转抛物面与平面所围立体的体积，关键是确定积分区域并正确计算积分。

步骤1：确定体积计算方法

旋转抛物面 $z = x^2 + y^2$ 开口向上，所求立体由 $z = x^2 + y^2$、三个坐标面（$x=0,y=0,z=0$）及平面 $x+y=1$ 围成。根据二重积分的几何意义，体积 $V$ 等于以 $z = x^2 + y^2$ 为顶、积分区域 $D$ 为底的曲顶柱体体积，即：
$V = \iint_D (x^2 + y^2) \, dxdy$

步骤2：确定积分区域 $D$

积分区域 $D$ 是 $xOy$ 平面上由 $x=0,y=0,x+y=1$ 围成的三角形区域（第一象限）。该区域可表示为：
$0 \leq y \leq 1 - x, \quad 0 \leq x \leq 1$

步骤3：计算二重积分

将二重积分转化为累次积分（先对 $y$ 积分，再对 $x$ 积分）：
$V = \int_0^1 dx \int_0^{1 - x} (x^2 + y^2) dy$

内层积分（对 $y$ 积分）

$\int_0^{1 - x} (x^2 + y^2) dy = \int_0^{1 - x} x^2 dy + \int_0^{1 - x} y^2 dy$

• 第一项：$x^2 \int_0^{1 - x} dy = x^2 (1 - x)$
• 第二项：$\int_0^{1 - x} y^2 dy = \left[ \frac{y^3}{3} \right]_0^{1 - x} = \frac{(1 - x)^3}{3}$

相加得：
$x^2 (1 - x) + \frac{(1 - x)^3}{3} = (1 - x) \left( x^2 + \frac{(1 - x)^2}{3} \right)$
化简括号内：
$x^2 + \frac{1 - 2x + x^2}{3} = \frac{3x^2 + 1 - 2x + x^2}{3} = \frac{4x^2 - 2x + 1}{3}$
故内层积分结果为：
$(1 - x) \cdot \frac{4x^2 - 2x + 1}{3} = \frac{ -4x^3 + 6x^2 - 3x + 1 }{3}$

外层积分（对 $x$ 积分）

$V = \frac{1}{3} \int_0^1 (-4x^3 + 6x^2 - 3x + 1) dx$
逐项积分：
$\int_0^1 (-4x^3 + 6x^2 - 3x + 1) dx = \left[ -x^4 + 2x^3 - \frac{3}{2}x^2 + x \right]_0^1 = \left( -1 + 2 - \frac{3}{2} + 1 \right) - 0 = \frac{1}{2}$

因此：
$V = \frac{1}{3} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{6}$