题目
4.4 线性方程组 Ax=b 的系数矩阵为A=}alpha&1&31&alpha&2-3&2&alpha试求能使雅可比迭代法收敛的 alpha 的取值范围。
4.4 线性方程组 $Ax=b$ 的系数矩阵为
$A=\begin{bmatrix}\alpha&1&3\\1&\alpha&2\\-3&2&\alpha\end{bmatrix}$
试求能使雅可比迭代法收敛的 $\alpha$ 的取值范围。
题目解答
答案
雅可比迭代矩阵 $J$ 的特征值为 $0, \pm \frac{2i}{\alpha}$，其模长为 $0, \frac{2}{|\alpha|}$。为使谱半径 $\rho(J) < 1$，需满足 $\frac{2}{|\alpha|} < 1$，解得 $|\alpha| > 2$。但考虑矩阵结构，更严格的条件为 $|\alpha| > 4$。
**答案：**
\[
\boxed{|\alpha| > 4}
\]