14 单透(4分) 设 =x+(e)^x , =varphi (y) 是其反函数,则 varphi '(y)|_(y-1)= () .-|||-○ A.1/2-|||-○ B.e-|||-C. (1+e)-|||-D.2

考查要点：本题主要考查反函数的导数计算，涉及反函数存在定理的应用以及复合函数求导法则。

解题核心思路：

1. 确定原函数与反函数的关系：已知原函数$y = x + e^x$，其反函数为$x = \varphi(y)$。
2. 利用反函数求导公式：根据反函数求导法则，$\varphi'(y) = \dfrac{1}{y'(x)}$，其中$y'(x)$是原函数在对应$x$处的导数。
3. 关键步骤：
   • 找到$y=1$对应的$x$值，即解方程$1 = x + e^x$；
   • 计算原函数在该$x$处的导数，再取倒数得到$\varphi'(1)$。

破题关键点：

• 正确应用反函数导数公式，注意变量对应关系；
• 准确求解方程确定$x$的值，避免计算错误。

步骤1：求$y=1$对应的$x$值
由原函数$y = x + e^x$，令$y=1$，得方程：
$1 = x + e^x$
通过观察法，当$x=0$时，代入得$0 + e^0 = 1$，满足方程。因此，当$y=1$时，对应的$x$值为$0$，即$\varphi(1) = 0$。

步骤2：计算原函数在$x=0$处的导数
原函数$y = x + e^x$的导数为：
$y'(x) = \dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(x) + \dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(e^x) = 1 + e^x$
在$x=0$处，导数值为：
$y'(0) = 1 + e^0 = 1 + 1 = 2$

步骤3：应用反函数求导公式
根据反函数导数公式：
$\varphi'(y) = \dfrac{1}{y'(x)}$
当$y=1$时，对应的$x=0$，因此：
$\varphi'(1) = \dfrac{1}{y'(0)} = \dfrac{1}{2}$