题目
29. (1.0分) 若函数f(x,y)在点(a,b)处可微，则它在该点必定连续。A. 对B. 错
29. (1.0分) 若函数f(x,y)在点(a,b)处可微，则它在该点必定连续。
A. 对
B. 错
题目解答
答案
A. 对
解析
步骤 1：可微的定义
函数 $ f(x, y) $ 在点 $(a, b)$ 处可微，意味着存在线性近似： \[ \Delta z = A \Delta x + B \Delta y + o(\rho) \] 其中 $\rho = \sqrt{(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2}$，且 $o(\rho)$ 是比 $\rho$ 高阶的无穷小。
步骤 2：连续性的条件
当 $(x, y) \to (a, b)$ 时，$\Delta x \to 0$，$\Delta y \to 0$，从而 $\rho \to 0$，导致 $\Delta z \to 0$。因此，函数在 $(a, b)$ 处满足连续性条件： \[ \lim_{(x, y) \to (a, b)} f(x, y) = f(a, b) \]
步骤 3：结论
由于可微性保证了函数在该点的连续性，因此函数 $ f(x, y) $ 在点 $(a, b)$ 处可微，则它在该点必定连续。
函数 $ f(x, y) $ 在点 $(a, b)$ 处可微，意味着存在线性近似： \[ \Delta z = A \Delta x + B \Delta y + o(\rho) \] 其中 $\rho = \sqrt{(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2}$，且 $o(\rho)$ 是比 $\rho$ 高阶的无穷小。
步骤 2：连续性的条件
当 $(x, y) \to (a, b)$ 时，$\Delta x \to 0$，$\Delta y \to 0$，从而 $\rho \to 0$，导致 $\Delta z \to 0$。因此，函数在 $(a, b)$ 处满足连续性条件： \[ \lim_{(x, y) \to (a, b)} f(x, y) = f(a, b) \]
步骤 3：结论
由于可微性保证了函数在该点的连续性，因此函数 $ f(x, y) $ 在点 $(a, b)$ 处可微，则它在该点必定连续。