4.（4.0分）设A和B为n阶方阵，则(A+B)^2=A^2+2AB+B^2成立的充分必要条件是A. A=EB. B=OC. AB=BAD. A=B

本题考查方阵运算以及充分必要条件的知识。解题的关键在于根据矩阵乘法的运算法则展开$(A + B)^2$，然后通过对比等式两边的式子，找出使$(A + B)^2 = A^2 + 2AB + B^2$成立的条件。

1. 首先，根据矩阵乘法的分配律展开$(A + B)^2$：
   • 因为$(A + B)^2=(A + B)(A + B)$，根据矩阵乘法分配律$(C+D)E = CE+DE$和$E(C + D)=EC+ED$，这里$C = A$，$D = B$，$E=(A + B)$，则$(A + B)(A + B)=A(A + B)+B(A + B)$。
   • 再次使用分配律可得$A(A + B)+B(A + B)=A^2+AB + BA + B^2$。
2. 然后，对比$(A + B)^2 = A^2 + 2AB + B^2$与$(A + B)^2=A^2+AB + BA + B^2$：
   • 要使$(A + B)^2 = A^2 + 2AB + B^2$成立，即$A^2+AB + BA + B^2=A^2 + 2AB + B^2$。
   • 等式两边同时减去$A^2$和$B^2$，得到$AB + BA=2AB$。
   • 移项可得$BA = 2AB-AB$，即$BA = AB$。
   • 反之，若$AB = BA$，则$(A + B)^2=A^2+AB + BA + B^2=A^2+AB + AB + B^2=A^2 + 2AB + B^2$。

所以$(A + B)^2 = A^2 + 2AB + B^2$成立的充分必要条件是$AB = BA$。