题目

16.[填空题]已知函数f(x)的周期为2，且f(1)=-3，则f(-5)=____

题目解答

答案

已知函数 $ f(x) $ 的周期为 2，即 $ f(x+2) = f(x) $。利用周期性将 $ -5 $ 转换为与已知值相关联的数： \[ -5 + 2 \times 3 = 1 \quad \text{（或 } 1 - 2 \times 3 = -5\text{）} \] 因此，$ f(-5) = f(1) $。已知 $ f(1) = -3 $，故 \[ f(-5) = -3 \] 答案：$\boxed{-3}$

解析

解析
本题考查知识点：函数的周期性。
解题思路：本题考查函数周期性的应用。解题的关键在于在于利用函数的周期性质，将所求函数值的自变量通过周期的整数倍变换，转化为已知函数值的自变量，进而求出函数值。
解析：
已知函数$f(x)$的周期为$2$，根据周期函数的定义，对于周期函数$y = f(x)$，如果存在一个非零常数$T$，使得当$x$取定义域内的每一个值时，$f(x + T) = f(x)$都成立，那么就把函数$y = f(x)$叫做周期函数，周期为$T$，所以对于本题有$f(x + 2)=f(x)$。
我们要计算$f(-5)$的值，可通过给$-5$加上$2$的整数倍，使其变为已知函数值的自变量$1$。
因为$-5+2\times3=-5 + 6 = 1$，根据周期函数的性质$f(x + 2)=f(x)$，可得$f(-5)=f(-5 + 2)=f(-3)$，$f(-3)=f(-3 + 2)=f(-1)$，$f(-1)=f(-1 + 2)=f(1)$，即\( - 5)=f(1)。又已知$f(1)=-3$，所以$f(-5)=-3$。