题目
15、填空 已知((x+ay)dx+yd y)/((x+y)^2)为某函数的全微分，则a=_____.
15、填空 已知$\frac{(x+ay)dx+yd y}{(x+y)^{2}}$为某函数的全微分，则a=_____.
题目解答
答案
为了确定 $a$ 的值，使得表达式 $\frac{(x+ay)dx + ydy}{(x+y)^2}$ 成为某函数的全微分，我们需要确保该表达式是一个精确的微分。这意味着表达式中 $dx$ 和 $dy$ 的系数必须满足混合偏导数相等的条件。
设表达式为 $P(x, y)dx + Q(x, y)dy$，其中
\[ P(x, y) = \frac{x + ay}{(x + y)^2} \]
\[ Q(x, y) = \frac{y}{(x + y)^2} \]
为了使表达式成为全微分，必须满足
\[ \frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial Q}{\partial x} \]
首先，我们计算 $\frac{\partial P}{\partial y}$：
\[ \frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y} \left( \frac{x + ay}{(x + y)^2} \right) \]
使用商法则 $\left( \frac{u}{v} \right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$，其中 $u = x + ay$ 和 $v = (x + y)^2$，我们得到：
\[ \frac{\partial P}{\partial y} = \frac{(a)(x + y)^2 - (x + ay)(2)(x + y)}{(x + y)^4} = \frac{a(x + y)^2 - 2(x + ay)(x + y)}{(x + y)^4} = \frac{a(x + y) - 2(x + ay)}{(x + y)^3} = \frac{ax + ay - 2x - 2ay}{(x + y)^3} = \frac{(a - 2)x - ay}{(x + y)^3} \]
接下来，我们计算 $\frac{\partial Q}{\partial x}$：
\[ \frac{\partial Q}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x} \left( \frac{y}{(x + y)^2} \right) \]
再次使用商法则，其中 $u = y$ 和 $v = (x + y)^2$，我们得到：
\[ \frac{\partial Q}{\partial x} = \frac{(0)(x + y)^2 - (y)(2)(x + y)}{(x + y)^4} = \frac{-2y(x + y)}{(x + y)^4} = \frac{-2y}{(x + y)^3} \]
为了使表达式成为全微分，必须有：
\[ \frac{(a - 2)x - ay}{(x + y)^3} = \frac{-2y}{(x + y)^3} \]
通过比较分子，我们得到：
\[ (a - 2)x - ay = -2y \]
这必须对所有 $x$ 和 $y$ 成立。因此，$x$ 的系数和常数项在两边必须相等。从 $x$ 的系数，我们得到：
\[ a - 2 = 0 \]
从常数项，我们得到：
\[ -ay = -2y \]
解 $a - 2 = 0$，我们得到：
\[ a = 2 \]
我们可以验证这个值也满足 $-ay = -2y$：
\[ -2y = -2y \]
因此，$a$ 的值是 $\boxed{2}$。
解析
本题考查全微分的性质及偏导数的计算。解题的关键思路是利用全微分的充要条件，即若$P(x,y)dx + Q(x,y)dy$是某函数的全微分，则$\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial Q}{\partial x}$。我们先分别求出$P(x,y)$和$Q(x,y)$关于$y$和$x$的偏导数，然后令它们相等，通过比较等式两边同类项的系数来确定$a$的值。
设$P(x, y) = \frac{x + ay}{(x + y)^2}$，$Q(x, y) = \frac{y}{(x + y)^2}$。
- 计算$\frac{\partial P}{\partial y}$：
根据商法则$\left( \frac{u}{v} \right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$，其中$u = x + ay$，$v = (x + y)^2$。- 先求$u'$和$v'$：
$u'$关于$y$的导数为$\frac{\partial u}{\partial y}=a$，$v'$关于$y$的导数为$\frac{\partial v}{\partial y}=2(x + y)$。 - 再代入商法则公式：
$\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{(a)(x + y)^2 - (x + ay)(2)(x + y)}{(x + y)^4}$
对分子提取公因式$(x + y)$可得：
$\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{(x + y)[a(x + y) - 2(x + ay)]}{(x + y)^4}=\frac{a(x + y) - 2(x + ay)}{(x + y)^3}$
展开分子得：
$\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{ax + ay - 2x - 2ay}{(x + y)^3}=\frac{(a - 2)x - ay}{(x + y)^3}$
- 先求$u'$和$v'$：
- 计算$\frac{\partial Q}{\partial x}$：
同样根据商法则，其中$u = y$，$v = (x + y)^2$。- 先求$u'$和$v'$：
$u'$关于$x$的导数为$\frac{\partial u}{\partial x}=0$，$v'$关于$x$的导数为$\frac{\partial v}{\partial x}=2(x + y)$。 - 再代入商法则公式：
$\frac{\partial Q}{\partial x} = \frac{(0)(x + y)^2 - (y)(2)(x + y)}{(x + y)^4}$
对分子提取公因式$(x + y)$可得：
$\frac{\partial Q}{\partial x} = \frac{(x + y)[0 - 2y]}{(x + y)^4}=\frac{-2y}{(x + y)^3}$
- 先求$u'$和$v'$：
- 令$\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial Q}{\partial x}$：
即$\frac{(a - 2)x - ay}{(x + y)^3} = \frac{-2y}{(x + y)^3}$。
因为分母相同，所以分子相等，得到$(a - 2)x - ay = -2y$。
要使该等式对所有$x$和$y$都成立，则$x$的系数和$y$的系数分别相等。- 对于$x$的系数：$a - 2 = 0$，解得$a = 2$。
- 对于$y$的系数：$-a = -2$，解得$a = 2$。