题目
4.设随机变量X的密度函数 f(x)= ) Ax,0lt xlt 2 0, . 则常数 A= __ ,-|||-X的分布函数为 __ 随机变量 =2x-1 的密度函数为 __
题目解答
答案
解析
考查要点：本题主要考查概率密度函数的归一化条件、分布函数的求解方法，以及随机变量函数的密度函数求解。
解题思路：
- 求常数A：利用概率密度函数的归一化条件，即积分等于1，解方程求A。
- 求分布函数：对密度函数分段积分，注意不同区间的积分结果。
- 求Y的密度函数：通过变量代换法，结合线性变换的密度函数公式，注意雅可比因子的处理。
破题关键：
- 归一化条件是求A的核心。
- 分段讨论是求分布函数的关键，需明确不同区间对应的积分范围。
- 变量代换公式是求Y密度函数的核心，需正确处理区间变换和雅可比因子。
第（1）题：求常数A
根据概率密度函数的归一化条件：
$\int_{-\infty}^{+\infty} f(x) \, dx = 1$
仅在区间$(0,2)$内$f(x)=Ax$，因此：
$\int_{0}^{2} Ax \, dx = 1$
计算积分：
$A \cdot \left[ \frac{x^2}{2} \right]_0^2 = A \cdot \frac{4}{2} = 2A = 1 \implies A = \frac{1}{2}$
第（2）题：求X的分布函数$F_X(x)$
分布函数定义为：
$F_X(x) = \int_{-\infty}^{x} f(t) \, dt$
分三种情况讨论：
- 当$x < 0$时：积分区间内$f(t)=0$，故$F_X(x)=0$。
- 当$0 \leq x < 2$时：
$F_X(x) = \int_{0}^{x} \frac{1}{2} t \, dt = \frac{1}{4} x^2$ - 当$x \geq 2$时：积分覆盖整个非零区间，故$F_X(x)=1$。
第（3）题：求Y=2X-1的密度函数$f_Y(y)$
使用变量代换公式：
$f_Y(y) = f_X\left( \frac{y+1}{2} \right) \cdot \left| \frac{dx}{dy} \right|$
其中$\frac{dx}{dy} = \frac{1}{2}$，且当$0 \leq X < 2$时，对应$-1 < Y < 3$：
- 当$-1 < y < 3$时：
$f_Y(y) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{y+1}{2} = \frac{y+1}{8}$ - 其他情况：$f_Y(y)=0$。