填空题（共18题，72.0分）8. (4.0分) 设(X,Y)的概率密度为f(x,y)=}(21)/(4)x^2y,&x^2<10,&else,则PY<(1)/(3)|X=(1)/(2)=_.(请用最简分数作答，如1/3)

考查要点：本题主要考查条件概率密度的计算以及条件概率的积分求解。关键在于正确求出X的边缘密度，进而得到条件密度函数，最后在指定区间内积分。

解题思路：

1. 确定联合密度的有效区域：由题意知，当$x^2 < 1$时，$f(x,y)$非零，此时$y$的取值范围为$x^2 \leq y \leq 1$。
2. 计算X的边缘密度：对联合密度函数在$y$的范围内积分。
3. 求条件密度函数：利用条件密度公式$f_{Y|X}(y|x) = \frac{f(x,y)}{f_X(x)}$。
4. 计算条件概率：在$X=\frac{1}{2}$时，对条件密度函数在$Y < \frac{1}{3}$的区间内积分。

步骤1：计算X的边缘密度$f_X(x)$

联合密度函数在$y \in [x^2, 1]$时非零，因此：
$f_X(x) = \int_{x^2}^1 \frac{21}{4}x^2 y \, dy = \frac{21}{4}x^2 \cdot \left[ \frac{y^2}{2} \right]_{x^2}^1 = \frac{21}{8}x^2 \left(1 - x^4\right)$

步骤2：求条件密度$f_{Y|X}(y|x)$

根据条件密度公式：
$f_{Y|X}(y|x) = \frac{f(x,y)}{f_X(x)} = \frac{\frac{21}{4}x^2 y}{\frac{21}{8}x^2 (1 - x^4)} = \frac{2y}{1 - x^4}$
当$x = \frac{1}{2}$时：
$f_{Y|X}\left(y \mid \frac{1}{2}\right) = \frac{2y}{1 - \left(\frac{1}{2}\right)^4} = \frac{32y}{15}, \quad y \in \left[\frac{1}{4}, 1\right]$

步骤3：计算条件概率$P\{Y < \frac{1}{3} \mid X = \frac{1}{2}\}$

积分区间为$y \in \left[\frac{1}{4}, \frac{1}{3}\right]$：
$\begin{aligned}P\left\{Y < \frac{1}{3} \mid X = \frac{1}{2}\right\} &= \int_{\frac{1}{4}}^{\frac{1}{3}} \frac{32y}{15} \, dy \\&= \frac{32}{15} \cdot \left[ \frac{y^2}{2} \right]_{\frac{1}{4}}^{\frac{1}{3}} \\&= \frac{16}{15} \left( \frac{1}{9} - \frac{1}{16} \right) \\&= \frac{16}{15} \cdot \frac{7}{144} = \frac{7}{135}\end{aligned}$