题目
lim _(xarrow 1)(dfrac (x)(x-1)-dfrac (1)(ln x))-|||-__ __
题目解答
答案
解析
步骤 1：合并分数
将给定的极限表达式中的两个分数合并为一个分数，以便于后续的计算。
$$\lim _{x\rightarrow 1}(\dfrac {x}{x-1}-\dfrac {1}{\ln x}) = \lim _{x\rightarrow 1}\dfrac {x\ln x-(x-1)}{(x-1)(\ln x)}$$
步骤 2：应用洛必达法则
由于直接代入 $x=1$ 会导致分子和分母同时为零，我们应用洛必达法则，即对分子和分母分别求导。
$$\lim _{x\rightarrow 1}\dfrac {x\ln x-(x-1)}{(x-1)(\ln x)} = \lim _{x\rightarrow 1}\dfrac {\ln x+1-1}{\ln x+1-\dfrac {1}{x}}$$
步骤 3：再次应用洛必达法则
由于上一步的结果仍然导致分子和分母同时为零，我们再次应用洛必达法则。
$$\lim _{x\rightarrow 1}\dfrac {\ln x+1-1}{\ln x+1-\dfrac {1}{x}} = \lim _{x\rightarrow 1}\dfrac {x\ln x}{x\ln x+x-1}$$
步骤 4：简化表达式
简化上一步得到的表达式。
$$\lim _{x\rightarrow 1}\dfrac {x\ln x}{x\ln x+x-1} = \lim _{x\rightarrow 1}\dfrac {\ln x+1}{\ln x+1+1}$$
步骤 5：计算极限
将 $x=1$ 代入简化后的表达式中，计算极限值。
$$\lim _{x\rightarrow 1}\dfrac {\ln x+1}{\ln x+1+1} = \dfrac {1}{2}$$
将给定的极限表达式中的两个分数合并为一个分数，以便于后续的计算。
$$\lim _{x\rightarrow 1}(\dfrac {x}{x-1}-\dfrac {1}{\ln x}) = \lim _{x\rightarrow 1}\dfrac {x\ln x-(x-1)}{(x-1)(\ln x)}$$
步骤 2：应用洛必达法则
由于直接代入 $x=1$ 会导致分子和分母同时为零，我们应用洛必达法则，即对分子和分母分别求导。
$$\lim _{x\rightarrow 1}\dfrac {x\ln x-(x-1)}{(x-1)(\ln x)} = \lim _{x\rightarrow 1}\dfrac {\ln x+1-1}{\ln x+1-\dfrac {1}{x}}$$
步骤 3：再次应用洛必达法则
由于上一步的结果仍然导致分子和分母同时为零，我们再次应用洛必达法则。
$$\lim _{x\rightarrow 1}\dfrac {\ln x+1-1}{\ln x+1-\dfrac {1}{x}} = \lim _{x\rightarrow 1}\dfrac {x\ln x}{x\ln x+x-1}$$
步骤 4：简化表达式
简化上一步得到的表达式。
$$\lim _{x\rightarrow 1}\dfrac {x\ln x}{x\ln x+x-1} = \lim _{x\rightarrow 1}\dfrac {\ln x+1}{\ln x+1+1}$$
步骤 5：计算极限
将 $x=1$ 代入简化后的表达式中，计算极限值。
$$\lim _{x\rightarrow 1}\dfrac {\ln x+1}{\ln x+1+1} = \dfrac {1}{2}$$