求证：lim _(xarrow {0)^+}x[ dfrac (1)(x)] =1

考查要点：本题主要考查取整函数（地板函数）的性质以及夹逼定理（两边夹定理）的应用。

解题核心思路：

1. 利用取整函数的不等式性质，将$[ \dfrac{1}{x} ]$夹在$\dfrac{1}{x}-1$和$\dfrac{1}{x}$之间。
2. 将不等式两边乘以$x$（注意$x>0$时不等号方向不变），构造关于$x[ \dfrac{1}{x} ]$的不等式。
3. 对不等式两边取极限，利用夹逼定理得出最终结果。

破题关键点：

• 正确应用取整函数的不等式：对于任意正实数$y$，有$y-1 < [y] \leq y$。
• 极限运算的准确性：当$x \rightarrow 0^+$时，$1-x$的极限为$1$，需注意$x$的趋近方向。

步骤1：应用取整函数的不等式
对于任意$x>0$，令$y = \dfrac{1}{x}$，则$y$为正实数。根据取整函数的性质：
$y - 1 < [y] \leq y$
代入$y = \dfrac{1}{x}$，得：
$\dfrac{1}{x} - 1 < \left[ \dfrac{1}{x} \right] \leq \dfrac{1}{x}$

步骤2：构造关于$x[ \dfrac{1}{x} ]$的不等式
将上述不等式两边乘以$x$（因$x>0$，不等号方向不变）：
$x \left( \dfrac{1}{x} - 1 \right) < x \left[ \dfrac{1}{x} \right] \leq x \cdot \dfrac{1}{x}$
化简得：
$1 - x < x \left[ \dfrac{1}{x} \right] \leq 1$

步骤3：对不等式两边取极限
当$x \rightarrow 0^+$时：

• 左边$1 - x$的极限为$1 - 0 = 1$。
• 右边$1$的极限仍为$1$。

根据夹逼定理，若$1 - x < x \left[ \dfrac{1}{x} \right] \leq 1$，且两边极限均为$1$，则：
$\lim_{x \rightarrow 0^+} x \left[ \dfrac{1}{x} \right] = 1$