题目

8、随机变量X服从参数为λ的泊松分布，且P(X=2)=P(X=4)，则λ=____.

题目解答

答案

为了求解参数为 $\lambda$ 的泊松分布中 $P(X=2) = P(X=4)$ 的 $\lambda$ 值，我们首先需要使用泊松分布的概率质量函数。泊松分布的概率质量函数定义为： \[ P(X = k) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^k}{k!} \] 其中 $k$ 是非负整数，$\lambda$ 是泊松分布的参数。根据题目，我们有 $P(X=2) = P(X=4)$。将 $k=2$ 和 $k=4$ 代入泊松分布的概率质量函数，我们得到： \[ \frac{e^{-\lambda} \lambda^2}{2!} = \frac{e^{-\lambda} \lambda^4}{4!} \] 我们可以从等式两边同时消去 $e^{-\lambda}$： \[ \frac{\lambda^2}{2!} = \frac{\lambda^4}{4!} \] 接下来，我们计算阶乘的值， $2! = 2$ 和 $4! = 24$，代入等式中： \[ \frac{\lambda^2}{2} = \frac{\lambda^4}{24} \] 为了消去分母，我们两边同时乘以 24： \[ 12 \lambda^2 = \lambda^4 \] 将等式移项，得到： \[ \lambda^4 - 12 \lambda^2 = 0 \] 我们可以提取公因式 $\lambda^2$： \[ \lambda^2 (\lambda^2 - 12) = 0 \] 这给出了两个解： \[ \lambda^2 = 0 \quad \text{或} \quad \lambda^2 = 12 \] 由于 $\lambda$ 是泊松分布的参数，它必须是正数，因此 $\lambda^2 = 0$ 不是 valid 的解。所以，我们有： \[ \lambda^2 = 12 \] 取正平方根，得到： \[ \lambda = \sqrt{12} = 2\sqrt{3} \] 因此，$\lambda$ 的值是： \[ \boxed{2\sqrt{3}} \]

解析

考查要点：本题主要考查泊松分布的概率质量函数及其应用，以及方程求解的能力。

解题核心思路：

泊松分布公式：明确泊松分布的概率表达式，正确代入题目中的条件。
建立方程：根据题目中给出的概率相等条件，列出方程并化简。
解方程：通过代数变形和因式分解求解参数$\lambda$，注意排除不符合实际意义的解。

破题关键点：

消去公共因子：利用泊松分布公式中$e^{-\lambda}$的公共因子简化方程。
阶乘计算：正确计算$2!$和$4!$的值，避免计算错误。
参数约束：泊松分布的参数$\lambda$必须为正数，需排除负根或零解。

泊松分布的概率质量函数为：
$P(X = k) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^k}{k!}$
根据题意，$P(X=2) = P(X=4)$，代入公式得：
$\frac{e^{-\lambda} \lambda^2}{2!} = \frac{e^{-\lambda} \lambda^4}{4!}$

步骤1：消去公共因子
两边同时除以$e^{-\lambda}$，得到：
$\frac{\lambda^2}{2!} = \frac{\lambda^4}{4!}$

步骤2：代入阶乘值
计算$2! = 2$和$4! = 24$，代入后方程变为：
$\frac{\lambda^2}{2} = \frac{\lambda^4}{24}$

步骤3：化简方程
两边同时乘以24，消去分母：
$12\lambda^2 = \lambda^4$
移项得：
$\lambda^4 - 12\lambda^2 = 0$

步骤4：因式分解
提取公因式$\lambda^2$：
$\lambda^2 (\lambda^2 - 12) = 0$
解得：
$\lambda^2 = 0 \quad \text{或} \quad \lambda^2 = 12$

步骤5：排除不合理解
由于$\lambda > 0$，舍去$\lambda^2 = 0$，得：
$\lambda = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$