【例8】求极限lim_(ntoinfty)(2^n)/(n!). 【方法1】由于n足够大时有 0<(2^n)/(n!)=(2times2times2times...times2)/(1times2times3times...times n)=(2)/(1)times(2times2times...times2)/(2times3times...times(n-1))times(2)/(n)<(4)/(n).又lim_(ntoinfty)(4)/(n)=0，由夹逼准则知lim_(ntoinfty)(2^n)/(n!)=0.

考查要点：本题主要考查数列极限的求解方法，特别是利用夹逼准则处理阶乘与指数函数的比值问题。

解题核心思路：

1. 比较阶乘与指数函数的增长速率：阶乘函数$n!$的增长速度远快于指数函数$2^n$，当$n$足够大时，分母的增长将主导整个表达式，使分数趋向于$0$。
2. 分解分子与分母的结构：将$\frac{2^n}{n!}$拆分为多个分数相乘的形式，分析每一项的大小关系，找到合适的上界。
3. 应用夹逼准则：通过构造不等式，将原式与易求极限的数列（如$\frac{4}{n}$）进行比较，从而确定极限值。

破题关键点：

• 拆分比值：将$\frac{2^n}{n!}$写成$\frac{2}{1} \times \frac{2}{2} \times \frac{2}{3} \times \cdots \times \frac{2}{n}$，观察到从第三项开始，每一项$\frac{2}{k} < 1$（$k \geq 3$）。
• 构造上界：通过分析前几项的乘积，结合剩余项的递减性，推导出整体表达式被$\frac{4}{n}$控制。

步骤1：拆分表达式
将$\frac{2^n}{n!}$展开为连乘形式：
$\frac{2^n}{n!} = \frac{2}{1} \times \frac{2}{2} \times \frac{2}{3} \times \cdots \times \frac{2}{n}.$

步骤2：分析各项大小

• 前两项分别为$\frac{2}{1} = 2$和$\frac{2}{2} = 1$。
• 当$k \geq 3$时，$\frac{2}{k} < 1$，因此后续所有项的乘积均小于$1$。

步骤3：构造不等式
从第三项开始，每一项$\frac{2}{k} \leq \frac{2}{3}$（$k \geq 3$），因此：
$\frac{2^n}{n!} \leq 2 \times 1 \times \left( \frac{2}{3} \right)^{n-2}.$

步骤4：进一步简化上界
注意到$\left( \frac{2}{3} \right)^{n-2}$随$n$增大指数级衰减，但此处更直接的方式是通过观察前几项的乘积：
$\frac{2^n}{n!} \leq 2 \times 1 \times \frac{2}{3} \times \cdots \times \frac{2}{n} \leq \frac{4}{n}.$

步骤5：应用夹逼准则
由于$\lim_{n \to \infty} \frac{4}{n} = 0$，且$0 < \frac{2^n}{n!} \leq \frac{4}{n}$，根据夹逼准则，得：
$\lim_{n \to \infty} \frac{2^n}{n!} = 0.$