3.4 相同的两个均质光滑球悬在结于定点O的两根绳子上，此两球同时又支持一个等重的均质球，求alpha角及beta角之间的关系.答：tanbeta=3tanalpha

本题考查静力学中的平衡条件应用，核心在于分析各球的受力并建立平衡方程。关键点包括：

1. 中间球受两侧球的支持力对称分布，需通过垂直方向平衡求解支持力；
2. 侧球受绳子拉力、自身重力及中间球的支持力，需分解拉力的水平与垂直分量；
3. 通过消元法消除中间变量（如拉力$T$），最终建立$\alpha$与$\beta$的关系。

中间球的受力分析

中间球受两个侧球的支持力$N$，垂直方向平衡方程为：
$2N \cos \beta = W \implies N = \frac{W}{2 \cos \beta}$

右侧球的受力分析

垂直方向平衡

右侧球受绳子拉力$T$的垂直分量需平衡自身重力$W$与中间球的支持力垂直分量：
$T \cos \alpha = W + N \cos \beta$
代入$N = \frac{W}{2 \cos \beta}$得：
$T \cos \alpha = W + \frac{W}{2} = \frac{3W}{2}$

水平方向平衡

拉力$T$的水平分量需平衡中间球的支持力水平分量：
$T \sin \alpha = N \sin \beta$
代入$N = \frac{W}{2 \cos \beta}$得：
$T \sin \alpha = \frac{W \sin \beta}{2 \cos \beta} = \frac{W}{2} \tan \beta$

消元求关系式

联立垂直与水平方向方程，消去$T$：
$\frac{3W}{2 \cos \alpha} \sin \alpha = \frac{W}{2} \tan \beta \implies 3 \tan \alpha = \tan \beta$