若用复合梯形公式计算积分int_(0)^1e^xdx，问区间[0,1]应分为多少等份才能使截断误差不超过0.5×10^-5？若改用复合辛普森公式，要达到同样的精度区间应分为多少等份？

考查要点：本题主要考查复合梯形公式和复合辛普森公式的误差估计，以及根据给定精度确定区间划分的等份数。

解题核心思路：

1. 误差公式应用：分别写出两种方法的截断误差公式，代入被积函数$f(x)=e^x$的高阶导数最大值。
2. 不等式求解：根据误差不超过$0.5 \times 10^{-5}$的要求，建立不等式并解出最小等份数$n$。
3. 关键点：注意复合辛普森公式中$n$的定义（需为偶数，但题目直接取整数解）。

复合梯形公式

误差公式

$R_T \leq \frac{(b-a)^3}{12n^2} \max_{[a,b]} |f''(x)|$

导数计算

$f(x)=e^x$，则$f''(x)=e^x$，在$[0,1]$上最大值为$e$。

代入条件

要求$R_T \leq 0.5 \times 10^{-5}$，即：
$\frac{1^3}{12n^2} \cdot e \leq 0.5 \times 10^{-5}$

解不等式

$n^2 \geq \frac{e}{12 \cdot 0.5 \times 10^{-5}} = \frac{e}{6 \times 10^{-5}} \implies n \geq \sqrt{\frac{e}{6 \times 10^{-5}}} \approx 212.85$
取整数$n=213$。

复合辛普森公式

误差公式

$R_S \leq \frac{(b-a)^5}{180(2n)^4} \max_{[a,b]} |f^{(4)}(x)|$

导数计算

$f^{(4)}(x)=e^x$，在$[0,1]$上最大值为$e$。

代入条件

要求$R_S \leq 0.5 \times 10^{-5}$，即：
$\frac{1^5}{180(2n)^4} \cdot e \leq 0.5 \times 10^{-5}$

解不等式

$(2n)^4 \geq \frac{e}{180 \cdot 0.5 \times 10^{-5}} = \frac{e}{90 \times 10^{-5}} \implies 2n \geq \sqrt[4]{\frac{e}{90 \times 10^{-5}}} \approx 7.41$
取整数$n=4$。