题目
①,设f(x)是以2为周期的可导函数,且 lim _(xarrow 1)dfrac (f(2x-1)-2f(3-2x))(ln x)=3 则-|||-lim _(xarrow 1)dfrac (f(2-3x)+f(-x))({2)^x-2}= () .-|||-(A) dfrac (1)(ln 2) (B) -dfrac (1)(ln 2) (C) dfrac (2)(ln 2) (D) -dfrac (2)(ln 2)

题目解答
答案

解析
步骤 1:分析给定的极限条件
给定条件为 $\lim _{x\rightarrow 1}\dfrac {f(2x-1)-2f(3-2x)}{\ln x}=3$。首先,我们注意到分子中的函数值 $f(2x-1)$ 和 $f(3-2x)$,以及分母中的 $\ln x$。由于 $x$ 趋向于 1,我们可以利用洛必达法则来处理这个极限问题。
步骤 2:应用洛必达法则
根据洛必达法则,我们对分子和分母分别求导,得到:
$$\lim _{x\rightarrow 1}\dfrac {f'(2x-1)\cdot 2 - 2f'(3-2x)\cdot (-2)}{\frac{1}{x}}$$
简化后得到:
$$\lim _{x\rightarrow 1}\dfrac {2f'(2x-1) + 4f'(3-2x)}{\frac{1}{x}}$$
由于 $x$ 趋向于 1,我们可以将 $x=1$ 代入,得到:
$$\lim _{x\rightarrow 1}\dfrac {2f'(1) + 4f'(1)}{1} = 6f'(1)$$
根据题目条件,这个极限值等于 3,因此我们得到:
$$6f'(1) = 3$$
从而得到:
$$f'(1) = \frac{1}{2}$$
步骤 3:求解目标极限
现在我们需要求解 $\lim _{x\rightarrow 1}\dfrac {f(2-3x)+f(-x)}{{2}^{x}-2}$。同样地,我们利用洛必达法则,对分子和分母分别求导,得到:
$$\lim _{x\rightarrow 1}\dfrac {-3f'(2-3x) - f'(-x)}{2^x \ln 2}$$
将 $x=1$ 代入,得到:
$$\lim _{x\rightarrow 1}\dfrac {-3f'(1) - f'(1)}{2 \ln 2} = \dfrac {-4f'(1)}{2 \ln 2}$$
根据前面的计算,$f'(1) = \frac{1}{2}$,代入得到:
$$\dfrac {-4 \cdot \frac{1}{2}}{2 \ln 2} = \dfrac {-2}{2 \ln 2} = -\dfrac {1}{\ln 2}$$
给定条件为 $\lim _{x\rightarrow 1}\dfrac {f(2x-1)-2f(3-2x)}{\ln x}=3$。首先,我们注意到分子中的函数值 $f(2x-1)$ 和 $f(3-2x)$,以及分母中的 $\ln x$。由于 $x$ 趋向于 1,我们可以利用洛必达法则来处理这个极限问题。
步骤 2:应用洛必达法则
根据洛必达法则,我们对分子和分母分别求导,得到:
$$\lim _{x\rightarrow 1}\dfrac {f'(2x-1)\cdot 2 - 2f'(3-2x)\cdot (-2)}{\frac{1}{x}}$$
简化后得到:
$$\lim _{x\rightarrow 1}\dfrac {2f'(2x-1) + 4f'(3-2x)}{\frac{1}{x}}$$
由于 $x$ 趋向于 1,我们可以将 $x=1$ 代入,得到:
$$\lim _{x\rightarrow 1}\dfrac {2f'(1) + 4f'(1)}{1} = 6f'(1)$$
根据题目条件,这个极限值等于 3,因此我们得到:
$$6f'(1) = 3$$
从而得到:
$$f'(1) = \frac{1}{2}$$
步骤 3:求解目标极限
现在我们需要求解 $\lim _{x\rightarrow 1}\dfrac {f(2-3x)+f(-x)}{{2}^{x}-2}$。同样地,我们利用洛必达法则,对分子和分母分别求导,得到:
$$\lim _{x\rightarrow 1}\dfrac {-3f'(2-3x) - f'(-x)}{2^x \ln 2}$$
将 $x=1$ 代入,得到:
$$\lim _{x\rightarrow 1}\dfrac {-3f'(1) - f'(1)}{2 \ln 2} = \dfrac {-4f'(1)}{2 \ln 2}$$
根据前面的计算,$f'(1) = \frac{1}{2}$,代入得到:
$$\dfrac {-4 \cdot \frac{1}{2}}{2 \ln 2} = \dfrac {-2}{2 \ln 2} = -\dfrac {1}{\ln 2}$$