题目

设二维随机变量((X)^6X)的联合分布律为((X)^6X)，求（1）X，Y的边缘分布律；（2）判断X，Y是否相互独立；（3）((X)^6X)；（4）((X)^6X).

设二维随机变量 $(X,Y)$ 的联合分布律为 $\begin{pmatrix} X/Y&1&2&3 \newline 0&0.2&0.1&0.2 \newline 1&0.05&0.15&0.3 \end{pmatrix}$ ，

求（1）X，Y的边缘分布律；

（2）判断X，Y是否相互独立；

（3） $cov(X,Y)$ ；

（4） $\rho_{XY}$ .

题目解答

答案

（1）X的边缘分布律为 $P\left(X=0\right)=P\left(X=0,Y=1\right)+P\left(X=0,Y=2\right)+P\left(X=0,Y=3\right)$ $=0.2+0.1+0.2=0.5$ ， $P\left(X=1\right)=P\left(X=1,Y=1\right)+P\left(X=1,Y=2\right)+P\left(X=1,Y=3\right)$ $=0.05+0.15+0.3=0.5$ ，

Y的边缘分布律为 $P\left(Y=1\right)=P\left(X=0,Y=1\right)+P\left(X=1,Y=1\right)$ $=0.2+0.05=0.25$ ， $P\left(Y=2\right)=P\left(X=0,Y=2\right)+P\left(X=1,Y=2\right)$ $=0.1+0.15=0.25$ ， $P\left(Y=3\right)=P\left(X=0,Y=3\right)+P\left(X=1,Y=3\right)$ $=0.2+0.3=0.5$ ；

（2） $P\left(X=0\right)P\left(Y=1\right)=0.5\times0.25=0.125\ne P\left(X=0,Y=1\right)$ ，则X与Y不相互独立；

（3） $E\left(X\right)=0\times P\left(X=0\right)+1\times P\left(X=1\right)$ $=0\times0.5+1\times0.5=0.5$ ， $E\left(Y\right)=1\times P\left(Y=1\right)+2\times P\left(Y=2\right)+3\times P\left(Y=3\right)$ $=1\times0.25+2\times0.25+3\times0.5=2.25$ ， $P\left(XY=0\right)=P\left(X=0\right)=0.5$ ， $P\left(XY=1\right)=P\left(X=1,Y=1\right)=0.05$ ， $P\left(XY=2\right)=P\left(X=1,Y=2\right)=0.15$ ， $P\left(XY=3\right)=P\left(X=1,Y=3\right)=0.3$ ，则 $E\left(XY\right)=0\times P\left(XY=0\right)+1\times P\left(XY=1\right)$ $+2\times P\left(XY=2\right)+3\times P\left(XY=3\right)$ $=0\times0.5+1\times0.05+2\times0.15+3\times0.3=1.25$ ，则 $Cov\left(X,Y\right)=E\left(XY\right)-E\left(X\right)E\left(Y\right)$ $=1.25-0.5\times2.25=0.125$ ，

$X^2$ 与X同分布，则 $E\left(X^2\right)=E\left(X\right)=0.5$ ，则 $D\left(X\right)=E\left(X^2\right)-E^2\left(X\right)=0.5-0.5^2=0.25$ ， $E\left(Y^2\right)=1\times P\left(Y^2=1\right)+4\times P\left(Y^2=4\right)+9\times P\left(Y^2=9\right)$ $=1\times0.25+4\times0.25+9\times0.5=5.75$ ，则 $D\left(Y\right)=E\left(Y^2\right)-E^2\left(Y\right)=5.75-2.25^2=0.6875$ ，则 $\rho_{XY}=\frac{Cov\left(X,Y\right)}{\sqrt{DX}\sqrt{DY}}=\frac{0.125}{\sqrt{0.25}\sqrt{0.6875}}=\frac{1}{\sqrt{11}}$ .