题目
lim_(n to infty)x_(n)=0,lim_(n to infty)y_(n)不存在,lim_(n to infty)x_(n) cdot y_(n)=0,对吗?A. 正确B. 错误
$\lim_{n \to \infty}x_{n}=0,\lim_{n \to \infty}y_{n}$不存在,$\lim_{n \to \infty}x_{n} \cdot y_{n}=0$,对吗?
A. 正确
B. 错误
题目解答
答案
B. 错误
解析
步骤 1：分析 $\lim_{n \to \infty} x_n = 0$
- 给定 $\lim_{n \to \infty} x_n = 0$，意味着当 $n$ 趋向于无穷大时，$x_n$ 的值趋向于0。
步骤 2：分析 $\lim_{n \to \infty} y_n$ 不存在
- 给定 $\lim_{n \to \infty} y_n$ 不存在，意味着 $y_n$ 的值在 $n$ 趋向于无穷大时没有确定的极限值。
步骤 3：分析 $\lim_{n \to \infty} x_n \cdot y_n = 0$
- 考虑乘积 $x_n \cdot y_n$ 的极限。即使 $x_n$ 趋向于0，如果 $y_n$ 增长过快或无界，乘积极限可能不为0。
步骤 4：反例
- 取 $x_n = \frac{1}{n}$，$y_n = n$，则 $\lim_{n \to \infty} x_n \cdot y_n = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \cdot n = \lim_{n \to \infty} 1 = 1 \neq 0$。
步骤 5：结论
- 题目条件无法保证 $\lim_{n \to \infty} x_n \cdot y_n = 0$，故选B。
- 给定 $\lim_{n \to \infty} x_n = 0$，意味着当 $n$ 趋向于无穷大时，$x_n$ 的值趋向于0。
步骤 2：分析 $\lim_{n \to \infty} y_n$ 不存在
- 给定 $\lim_{n \to \infty} y_n$ 不存在，意味着 $y_n$ 的值在 $n$ 趋向于无穷大时没有确定的极限值。
步骤 3：分析 $\lim_{n \to \infty} x_n \cdot y_n = 0$
- 考虑乘积 $x_n \cdot y_n$ 的极限。即使 $x_n$ 趋向于0，如果 $y_n$ 增长过快或无界，乘积极限可能不为0。
步骤 4：反例
- 取 $x_n = \frac{1}{n}$，$y_n = n$，则 $\lim_{n \to \infty} x_n \cdot y_n = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \cdot n = \lim_{n \to \infty} 1 = 1 \neq 0$。
步骤 5：结论
- 题目条件无法保证 $\lim_{n \to \infty} x_n \cdot y_n = 0$，故选B。