一个盒子中装有6件产品，其中有2件是不合格品。现在作不放回抽样，接连取2次，每次地取1件，试求下列事件的概率：(1) 2件都是合格品；(2) 1件是合格品，1件是不合格品；(3) 至少有1件是合格品。

我们来一步一步分析这个概率问题。

题目条件：

• 盒子中共有 6 件产品；
• 其中有 2 件是不合格品，所以合格品有 $6 - 2 = 4$ 件；
• 不放回抽样，连续取 2 次，每次取 1 件；
• 求以下三个事件的概率。

(1) 2件都是合格品

我们要计算第一次和第二次都取到合格品的概率。

由于是不放回抽样，第二次的概率会受到第一次结果的影响。

解法一：分步计算（乘法原理）

• 第一次取到合格品的概率：
  盒中有 4 件合格品，共 6 件，所以概率为：
  $P_1 = \frac{4}{6}$

• 在第一次取到合格品的前提下，盒中还剩 5 件产品，其中合格品剩 3 件。
  所以第二次也取到合格品的概率为：
  $P_2 = \frac{3}{5}$

• 因此，两次都取到合格品的概率为：
  $P(\text{两件都合格}) = \frac{4}{6} \times \frac{3}{5} = \frac{2}{3} \times \frac{3}{5} = \frac{6}{15} = \frac{2}{5}$

解法二：组合法（从6件中任取2件）

总的取法：从6件中取2件，不考虑顺序，共有
$\binom{6}{2} = 15$
种可能。

两件都合格：从4件合格品中取2件，有
$\binom{4}{2} = 6$
种取法。

所以概率为：
$\frac{6}{15} = \frac{2}{5}$

✅ 两种方法结果一致。

答：(1) 两件都是合格品的概率是 $\boxed{\dfrac{2}{5}}$

(2) 1件是合格品，1件是不合格品

即：一合格一不合格，顺序不限。

可以分为两种情况：

• 第一次合格，第二次不合格；
• 第一次不合格，第二次合格。

我们分别计算再相加。

情况一：第一次合格，第二次不合格

• 第一次取合格品：$\frac{4}{6}$
• 剩下5件中，不合格品仍为2件（因为第一次拿的是合格品）
• 所以第二次取不合格品的概率：$\frac{2}{5}$
• 联合概率：$\frac{4}{6} \times \frac{2}{5} = \frac{8}{30}$

情况二：第一次不合格，第二次合格

• 第一次取不合格品：$\frac{2}{6}$
• 剩下5件中，合格品仍为4件（不合格品剩1件）
• 第二次取合格品：$\frac{4}{5}$
• 联合概率：$\frac{2}{6} \times \frac{4}{5} = \frac{8}{30}$

总概率：
$\frac{8}{30} + \frac{8}{30} = \frac{16}{30} = \frac{8}{15}$

组合法验证：

从6件中取2件，总取法：$\binom{6}{2} = 15$

一合格一不合格：从4件合格品中选1件，从2件不合格品中选1件：
$\binom{4}{1} \times \binom{2}{1} = 4 \times 2 = 8$

所以概率为：$\frac{8}{15}$

✅ 一致。

答：(2) 1件合格、1件不合格的概率是 $\boxed{\dfrac{8}{15}}$

(3) 至少有1件是合格品

“至少有1件是合格品” 的对立事件是 “两件都是不合格品”。

我们可以用对立事件法来计算更简便。

先求：两件都是不合格品的概率。

• 第一次取不合格品：$\frac{2}{6}$
• 第二次在剩下1件不合格品和5件总数中取：$\frac{1}{5}$
• 所以两件都不合格的概率：
  $\frac{2}{6} \times \frac{1}{5} = \frac{2}{30} = \frac{1}{15}$

所以，“至少有1件是合格品”的概率为：
$1 - \frac{1}{15} = \frac{14}{15}$

组合法验证：

两件都不合格：从2件不合格品中取2件，有 $\binom{2}{2} = 1$ 种取法。

总取法：15

所以两件都不合格的概率：$\frac{1}{15}$

因此，至少一件合格：$1 - \frac{1}{15} = \frac{14}{15}$

✅ 正确。

答：(3) 至少有1件是合格品的概率是 $\boxed{\dfrac{14}{15}}$

✅ 最终答案总结：

(1) 两件都是合格品：$\boxed{\dfrac{2}{5}}$
(2) 一件合格一件不合格：$\boxed{\dfrac{8}{15}}$
(3) 至少有一件合格品：$\boxed{\dfrac{14}{15}}$