[题目]极限 lim _(xarrow infty )xsin dfrac (2x)({x)^2+1}= __

考查要点：本题主要考查无穷小量的等价替换在极限计算中的应用，以及对函数整体趋势的分析能力。

解题核心思路：

1. 识别关键部分：观察到当$x \to \infty$时，$\dfrac{2x}{x^2+1}$趋向于$0$，因此可以考虑对$\sin\left(\dfrac{2x}{x^2+1}\right)$进行等价无穷小替换。
2. 简化表达式：利用$\sin \theta \sim \theta$（当$\theta \to 0$时），将原式转化为更易计算的形式。
3. 化简求极限：通过代数运算化简表达式，最终求出极限值。

破题关键点：

• 正确应用等价无穷小替换：明确替换的条件（$\dfrac{2x}{x^2+1} \to 0$），并确保替换后表达式的等价性。
• 处理高阶无穷小：确认替换后的误差项在乘以$x$后仍趋于$0$，从而保证结果的准确性。

步骤1：分析$\dfrac{2x}{x^2+1}$的极限
当$x \to \infty$时，分母$x^2+1 \sim x^2$，因此：
$\dfrac{2x}{x^2+1} \sim \dfrac{2x}{x^2} = \dfrac{2}{x} \to 0.$

步骤2：应用等价无穷小替换
由于$\dfrac{2x}{x^2+1} \to 0$，根据$\sin \theta \sim \theta$（当$\theta \to 0$），可得：
$\sin\left(\dfrac{2x}{x^2+1}\right) \sim \dfrac{2x}{x^2+1}.$

步骤3：代入原式并化简
将替换结果代入原式：
$\lim_{x \to \infty} x \cdot \sin\left(\dfrac{2x}{x^2+1}\right) \sim \lim_{x \to \infty} x \cdot \dfrac{2x}{x^2+1}.$
进一步化简分子和分母：
$x \cdot \dfrac{2x}{x^2+1} = \dfrac{2x^2}{x^2+1}.$
当$x \to \infty$时，分子和分母的最高次项均为$x^2$，因此：
$\dfrac{2x^2}{x^2+1} \sim \dfrac{2x^2}{x^2} = 2.$

结论：
原式的极限值为$2$。