题目
[题目]极限 lim _(xarrow infty )xsin dfrac (2x)({x)^2+1}= __
题目解答
答案
解析
步骤 1：利用等价无穷小替换
由于 $\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {\sin x}{x}=1$，我们可以将 $\sin \dfrac {2x}{{x}^{2}+1}$ 替换为 $\dfrac {2x}{{x}^{2}+1}$，因为当 $x\rightarrow \infty$ 时，$\dfrac {2x}{{x}^{2}+1}\rightarrow 0$，所以 $\sin \dfrac {2x}{{x}^{2}+1}\sim \dfrac {2x}{{x}^{2}+1}$。
步骤 2：替换并简化
将 $\sin \dfrac {2x}{{x}^{2}+1}$ 替换为 $\dfrac {2x}{{x}^{2}+1}$，得到 $\lim _{x\rightarrow \infty }x\sin \dfrac {2x}{{x}^{2}+1}=\lim _{x\rightarrow \infty }x\dfrac {2x}{{x}^{2}+1}$。
步骤 3：计算极限
计算 $\lim _{x\rightarrow \infty }x\dfrac {2x}{{x}^{2}+1}=\lim _{x\rightarrow \infty }\dfrac {2x^2}{{x}^{2}+1}$。分子和分母同时除以 $x^2$，得到 $\lim _{x\rightarrow \infty }\dfrac {2}{1+\dfrac {1}{x^2}}=2$。
由于 $\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {\sin x}{x}=1$，我们可以将 $\sin \dfrac {2x}{{x}^{2}+1}$ 替换为 $\dfrac {2x}{{x}^{2}+1}$，因为当 $x\rightarrow \infty$ 时，$\dfrac {2x}{{x}^{2}+1}\rightarrow 0$，所以 $\sin \dfrac {2x}{{x}^{2}+1}\sim \dfrac {2x}{{x}^{2}+1}$。
步骤 2：替换并简化
将 $\sin \dfrac {2x}{{x}^{2}+1}$ 替换为 $\dfrac {2x}{{x}^{2}+1}$，得到 $\lim _{x\rightarrow \infty }x\sin \dfrac {2x}{{x}^{2}+1}=\lim _{x\rightarrow \infty }x\dfrac {2x}{{x}^{2}+1}$。
步骤 3：计算极限
计算 $\lim _{x\rightarrow \infty }x\dfrac {2x}{{x}^{2}+1}=\lim _{x\rightarrow \infty }\dfrac {2x^2}{{x}^{2}+1}$。分子和分母同时除以 $x^2$，得到 $\lim _{x\rightarrow \infty }\dfrac {2}{1+\dfrac {1}{x^2}}=2$。