34.设函数f(x,y)有连续二阶偏导数.满足 dfrac ({partial )^2f}(partial xpartial y)=0, 且在极坐标系下可表成 f(x,y)=-|||-g(r),其中 =sqrt ({x)^2+(y)^2}, 求f(x,y).C1(a^ )+c2

考查要点：本题主要考查二阶混合偏导数的性质以及极坐标下函数的表达与求导。关键在于将极坐标形式的函数代入偏导数条件，建立微分方程求解。

解题思路：

1. 利用混合二阶偏导数为零的条件，推导出函数$f(x,y)$的结构；
2. 结合极坐标形式$f(x,y)=g(r)$，通过链式法则计算偏导数；
3. 建立关于$g(r)$的微分方程，求解得到$g(r)$的具体形式。

破题关键：混合二阶偏导数$\dfrac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}=0$暗示$f$的结构中不含$x$和$y$的交叉项，结合极坐标形式进一步限制$g(r)$的可能形式。

步骤1：计算一阶偏导数

由$f(x,y)=g(r)$，其中$r=\sqrt{x^2+y^2}$，根据链式法则：
$\frac{\partial f}{\partial x} = g'(r) \cdot \frac{\partial r}{\partial x} = g'(r) \cdot \frac{x}{r}$

步骤2：计算二阶混合偏导数

对$\dfrac{\partial f}{\partial x}$关于$y$求偏导：
$\frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x} = \frac{\partial}{\partial y} \left( g'(r) \cdot \frac{x}{r} \right)$
应用乘积法则：
$= g''(r) \cdot \frac{\partial r}{\partial y} \cdot \frac{x}{r} + g'(r) \cdot \frac{\partial}{\partial y} \left( \frac{x}{r} \right)$
计算各部分导数：

1. $\dfrac{\partial r}{\partial y} = \dfrac{y}{r}$
2. $\dfrac{\partial}{\partial y} \left( \dfrac{x}{r} \right) = x \cdot \left( -\dfrac{1}{r^2} \right) \cdot \dfrac{\partial r}{\partial y} = -\dfrac{x y}{r^3}$

代入得：
$\frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x} = g''(r) \cdot \frac{y}{r} \cdot \frac{x}{r} + g'(r) \cdot \left( -\frac{x y}{r^3} \right) = \frac{x y}{r^2} g''(r) - \frac{x y}{r^3} g'(r)$

步骤3：利用偏导数条件

根据题意$\dfrac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}=0$，即：
$\frac{x y}{r^2} g''(r) - \frac{x y}{r^3} g'(r) = 0$
整理得：
$\frac{x y}{r^3} \left( r g''(r) - g'(r) \right) = 0$
由于$x,y$不恒为零，故括号内必须为零：
$r g''(r) - g'(r) = 0$

步骤4：解微分方程

令$u(r) = g'(r)$，方程变为：
$r u'(r) - u(r) = 0 \quad \Rightarrow \quad \frac{u'(r)}{u(r)} = \frac{1}{r}$
积分得：
$\ln |u(r)| = \ln r + C \quad \Rightarrow \quad u(r) = C_1 r$
因此：
$g'(r) = C_1 r \quad \Rightarrow \quad g(r) = \frac{C_1}{2} r^2 + C_2$

步骤5：确定最终形式

代入$f(x,y)=g(r)$得：
$f(x,y) = \frac{C_1}{2} (x^2 + y^2) + C_2$