题目
178 设f(x)一阶可导, (x)gt 0, '(x)gt 0, 则当 Delta xgt 0 时-|||-(A) (int )_(x)^x+dxf(t)dtgt f(x)Delta xgt 0. (B) (int )_(x)^x+Delta xf(t)dtlt f(x)Delta xlt 0.-|||-(C) (x)Delta xgt (int )_(x)^x+Delta xf(t)dtgt 0. (D) (x)Delta xlt (int )_(x)^x+Delta xf(t)dtlt 0.
题目解答
答案
解析
步骤 1：理解条件
题目给出的条件是 $f(x) > 0$ 和 $f'(x) > 0$，这意味着函数 $f(x)$ 在定义域内是正的且单调递增的。
步骤 2：应用积分中值定理
根据积分中值定理，对于区间 $[x, x+\Delta x]$ 上的连续函数 $f(t)$，存在 $\xi \in (x, x+\Delta x)$，使得
$${\int }_{x}^{x+\Delta x}f(t)dt = f(\xi)\Delta x$$
由于 $f(x)$ 单调递增，当 $x < \xi < x+\Delta x$ 时，有 $f(x) < f(\xi)$，因此
$${\int }_{x}^{x+\Delta x}f(t)dt = f(\xi)\Delta x > f(x)\Delta x$$
步骤 3：确定符号
由于 $f(x) > 0$ 和 $\Delta x > 0$，所以 $f(x)\Delta x > 0$，从而
$${\int }_{x}^{x+\Delta x}f(t)dt > f(x)\Delta x > 0$$
题目给出的条件是 $f(x) > 0$ 和 $f'(x) > 0$，这意味着函数 $f(x)$ 在定义域内是正的且单调递增的。
步骤 2：应用积分中值定理
根据积分中值定理，对于区间 $[x, x+\Delta x]$ 上的连续函数 $f(t)$，存在 $\xi \in (x, x+\Delta x)$，使得
$${\int }_{x}^{x+\Delta x}f(t)dt = f(\xi)\Delta x$$
由于 $f(x)$ 单调递增，当 $x < \xi < x+\Delta x$ 时，有 $f(x) < f(\xi)$，因此
$${\int }_{x}^{x+\Delta x}f(t)dt = f(\xi)\Delta x > f(x)\Delta x$$
步骤 3：确定符号
由于 $f(x) > 0$ 和 $\Delta x > 0$，所以 $f(x)\Delta x > 0$，从而
$${\int }_{x}^{x+\Delta x}f(t)dt > f(x)\Delta x > 0$$