题目
设 L 是曲线 y = -sqrt(x) 上对应于由 (1, -1) 到 (0, 0) 的一段，则 int_(L) (x - y), dy 等于:A. -(1)/(6)B. -(5)/(6)C. (1)/(6)D. (5)/(6)
设 $L$ 是曲线 $y = -\sqrt{x}$ 上对应于由 $(1, -1)$ 到 $(0, 0)$ 的一段，则 $\int_{L} (x - y)\, dy$ 等于:
A. $-\frac{1}{6}$
B. $-\frac{5}{6}$
C. $\frac{1}{6}$
D. $\frac{5}{6}$
题目解答
答案
D. $\frac{5}{6}$
解析
步骤 1：参数化曲线
曲线 $y = -\sqrt{x}$ 可以参数化为 $x = y^2$，其中 $y$ 从 $-1$ 到 $0$。
步骤 2：转换积分
将积分 $\int_{L} (x - y)\, dy$ 转换为关于 $y$ 的积分，即 $\int_{-1}^{0} (y^2 - y) \, dy$。
步骤 3：计算积分
计算积分 $\int_{-1}^{0} (y^2 - y) \, dy$，得到 $\int_{-1}^{0} y^2 \, dy - \int_{-1}^{0} y \, dy = \left[ \frac{y^3}{3} \right]_{-1}^{0} - \left[ \frac{y^2}{2} \right]_{-1}^{0} = \frac{1}{3} + \frac{1}{2} = \frac{5}{6}$。
曲线 $y = -\sqrt{x}$ 可以参数化为 $x = y^2$，其中 $y$ 从 $-1$ 到 $0$。
步骤 2：转换积分
将积分 $\int_{L} (x - y)\, dy$ 转换为关于 $y$ 的积分，即 $\int_{-1}^{0} (y^2 - y) \, dy$。
步骤 3：计算积分
计算积分 $\int_{-1}^{0} (y^2 - y) \, dy$，得到 $\int_{-1}^{0} y^2 \, dy - \int_{-1}^{0} y \, dy = \left[ \frac{y^3}{3} \right]_{-1}^{0} - \left[ \frac{y^2}{2} \right]_{-1}^{0} = \frac{1}{3} + \frac{1}{2} = \frac{5}{6}$。