题目
3.利用定积分的几何意义,证明下列等式:-|||-(2) (int )_(0)^1sqrt (1-{x)^2}dx=dfrac (pi )(4) ;
题目解答
答案
解析
步骤 1：理解定积分的几何意义
定积分 ${\int }_{a}^{b}f(x)dx$ 表示函数 $f(x)$ 在区间 $[a, b]$ 上与x轴所围成的区域的面积。如果 $f(x)$ 在区间 $[a, b]$ 上非负，则定积分表示的是该区域的面积；如果 $f(x)$ 在区间 $[a, b]$ 上有正有负，则定积分表示的是该区域的代数和，即正面积减去负面积。
步骤 2：分析给定的定积分
给定的定积分是 ${\int }_{0}^{1}\sqrt {1-{x}^{2}}dx$，其中 $f(x) = \sqrt {1-{x}^{2}}$。这个函数在区间 $[0, 1]$ 上非负，因此定积分表示的是函数 $f(x)$ 在区间 $[0, 1]$ 上与x轴所围成的区域的面积。
步骤 3：确定函数 $f(x)$ 的几何意义
函数 $f(x) = \sqrt {1-{x}^{2}}$ 是圆 ${x}^{2}+{y}^{2}=1$ 的上半部分。因此，定积分 ${\int }_{0}^{1}\sqrt {1-{x}^{2}}dx$ 表示的是圆 ${x}^{2}+{y}^{2}=1$ 在第一象限的部分，即四分之一圆的面积。
步骤 4：计算四分之一圆的面积
圆 ${x}^{2}+{y}^{2}=1$ 的半径为1，因此其面积为 $\pi \times {1}^{2} = \pi$。四分之一圆的面积为 $\dfrac {\pi }{4}$。
定积分 ${\int }_{a}^{b}f(x)dx$ 表示函数 $f(x)$ 在区间 $[a, b]$ 上与x轴所围成的区域的面积。如果 $f(x)$ 在区间 $[a, b]$ 上非负，则定积分表示的是该区域的面积；如果 $f(x)$ 在区间 $[a, b]$ 上有正有负，则定积分表示的是该区域的代数和，即正面积减去负面积。
步骤 2：分析给定的定积分
给定的定积分是 ${\int }_{0}^{1}\sqrt {1-{x}^{2}}dx$，其中 $f(x) = \sqrt {1-{x}^{2}}$。这个函数在区间 $[0, 1]$ 上非负，因此定积分表示的是函数 $f(x)$ 在区间 $[0, 1]$ 上与x轴所围成的区域的面积。
步骤 3：确定函数 $f(x)$ 的几何意义
函数 $f(x) = \sqrt {1-{x}^{2}}$ 是圆 ${x}^{2}+{y}^{2}=1$ 的上半部分。因此，定积分 ${\int }_{0}^{1}\sqrt {1-{x}^{2}}dx$ 表示的是圆 ${x}^{2}+{y}^{2}=1$ 在第一象限的部分，即四分之一圆的面积。
步骤 4：计算四分之一圆的面积
圆 ${x}^{2}+{y}^{2}=1$ 的半径为1，因此其面积为 $\pi \times {1}^{2} = \pi$。四分之一圆的面积为 $\dfrac {\pi }{4}$。