注 类似地，若 f(x) = x - int_(0)^2a sqrt(2ax - x^2) f(x) dx，其中 a > 0，则 f(x) = _____。

我们来解这个积分方程： 题目给出： $$ f(x) = x - \int_0^{2a} \sqrt{2ax - x^2} f(x) \, dx $$ 其中 $ a > 0 $。 --- ### 第一步：观察方程结构 我们注意到，右边的积分是一个**定积分**，积分变量是 $ x $，积分区间是 $ [0, 2a] $，而被积函数中包含 $ f(x) $。这说明右边的积分是一个**常数**，不依赖于 $ x $。 因此，右边是一个常数，左边是 $ f(x) $，即： $$ f(x) = x - C $$ 其中 $ C = \int_0^{2a} \sqrt{2ax - x^2} f(x) \, dx $ 是一个常数。 --- ### 第二步：代入表达式 既然我们猜测： $$ f(x) = x - C $$ 那么我们可以将这个表达式代入原方程右边的积分中，求出 $ C $ 的值。 代入得： $$ C = \int_0^{2a} \sqrt{2ax - x^2} (x - C) \, dx $$ 我们把这个积分拆开： $$ C = \int_0^{2a} \sqrt{2ax - x^2} \cdot x \, dx - C \int_0^{2a} \sqrt{2ax - x^2} \, dx $$ 把 $ C $ 移到左边： $$ C + C \int_0^{2a} \sqrt{2ax - x^2} \, dx = \int_0^{2a} \sqrt{2ax - x^2} \cdot x \, dx $$ $$ C \left( 1 + \int_0^{2a} \sqrt{2ax - x^2} \, dx \right) = \int_0^{2a} x \sqrt{2ax - x^2} \, dx $$ --- ### 第三步：计算两个积分 我们来计算这两个积分： #### 1. 计算 $ I_1 = \int_0^{2a} \sqrt{2ax - x^2} \, dx $ 我们注意到： $$ 2ax - x^2 = -(x^2 - 2ax) = -(x - a)^2 + a^2 $$ 所以： $$ \sqrt{2ax - x^2} = \sqrt{a^2 - (x - a)^2} $$ 这是一个半圆的上半部分，半径为 $ a $，中心在 $ x = a $，所以这个积分就是半圆的面积： $$ I_1 = \int_0^{2a} \sqrt{a^2 - (x - a)^2} \, dx = \frac{1}{2} \pi a^2 $$ #### 2. 计算 $ I_2 = \int_0^{2a} x \sqrt{2ax - x^2} \, dx $ 我们用换元法：令 $ x = a + a \sin \theta $，则： - 当 $ x = 0 $，$ \sin \theta = -1 \Rightarrow \theta = -\frac{\pi}{2} $ - 当 $ x = 2a $，$ \sin \theta = 1 \Rightarrow \theta = \frac{\pi}{2} $ - $ dx = a \cos \theta \, d\theta $ - $ x = a(1 + \sin \theta) $ - $ \sqrt{2ax - x^2} = \sqrt{a^2 - (x - a)^2} = a \cos \theta $ 代入积分： $$ I_2 = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} a(1 + \sin \theta) \cdot a \cos \theta \cdot a \cos \theta \, d\theta = a^3 \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} (1 + \sin \theta) \cos^2 \theta \, d\theta $$ 我们拆开积分： $$ I_2 = a^3 \left[ \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \cos^2 \theta \, d\theta + \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \sin \theta \cos^2 \theta \, d\theta \right] $$ 第一个积分： $$ \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \cos^2 \theta \, d\theta = \frac{1}{2} \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} (1 + \cos 2\theta) \, d\theta = \frac{1}{2} \left[ \theta + \frac{\sin 2\theta}{2} \right]_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} = \frac{1}{2} \cdot \pi = \frac{\pi}{2} $$ 第二个积分是奇函数在对称区间积分，结果为 0： $$ \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \sin \theta \cos^2 \theta \, d\theta = 0 $$ 所以： $$ I_2 = a^3 \cdot \frac{\pi}{2} $$ --- ### 第四步：代入求 $ C $ 我们有： $$ C \left( 1 + \frac{\pi}{2} a^2 \right) = \frac{\pi}{2} a^3 $$ 解这个方程： $$ C = \frac{\frac{\pi}{2} a^3}{1 + \frac{\pi}{2} a^2} = \frac{\pi a^3}{2 + \pi a^2} $$ --- ### 第五步：写出最终答案 我们之前有： $$ f(x) = x - C = x - \frac{\pi a^3}{2 + \pi a^2} $$ --- ### ✅ 最终答案： $$ \boxed{f(x) = x - \frac{\pi a^3}{2 + \pi a^2}} $$