(2024·新课标卷25题)如 7-|||-图,一长度 l=1.0m 的均匀-|||-薄板初始时静止在一光滑平-|||-台上,薄板的右端与平台的边缘O对齐。薄板上-|||-的一小物块从薄板的左端以某一初速度向右滑-|||-动,当薄板运动的距离 Delta l=dfrac (l)(6) 时,物块从薄板右-|||-端水平飞出;当物块落到地面时,薄板中心恰好-|||-运动到O点。已知物块与薄板的质量相等,它们-|||-之间的动摩擦因数 mu =0.3 ,重力加速度大小 g=-|||-/(s)^2 。求:-|||-(1)物块初速度大小及其在薄板上运动的时间;-|||-(2)平台距地面的高度。

考查要点：本题综合考查牛顿运动定律、相对运动、平抛运动及匀速运动的综合应用。
解题核心思路：

1. 第一问：通过分析物块与薄板的相互作用，利用运动学公式或动量守恒、动能定理联立求解初速度和时间。
2. 第二问：结合平抛运动和匀速运动的时间关系，通过几何条件确定平台高度。
   破题关键点：

• 相对位移：物块在薄板上滑动时，相对位移等于薄板长度。
• 时间关联：物块平抛时间和薄板匀速运动时间相同，通过中心位置条件建立方程。

第（1）题

步骤1：确定加速度

物块与薄板质量相等，摩擦力产生的加速度大小均为：
$a = \mu g = 0.3 \times 10 = 3 \, \text{m/s}^2$
物块减速，薄板加速。

步骤2：列运动学方程

设物块初速度为$v_0$，运动时间为$t_1$：

• 物块位移：
  $x_{\text{物块}} = v_0 t_1 - \frac{1}{2} a t_1^2$
• 薄板位移：
  $x_{\text{薄板}} = \frac{1}{2} a t_1^2$
• 相对位移：物块相对薄板滑动距离为$l$，且薄板移动$\Delta l = \frac{l}{6}$，故：
  $x_{\text{物块}} - x_{\text{薄板}} = l$
  $x_{\text{薄板}} = \frac{l}{6}$

步骤3：联立方程求解

联立得：
$v_0 t_1 - a t_1^2 = l$
$\frac{1}{2} a t_1^2 = \frac{l}{6}$
代入$l=1 \, \text{m}$，$a=3 \, \text{m/s}^2$，解得：
$t_1 = \frac{1}{3} \, \text{s}, \quad v_0 = 4 \, \text{m/s}$

第（2）题

步骤1：确定物块平抛初速度

物块飞出时，薄板速度为：
$v_2 = a t_1 = 3 \times \frac{1}{3} = 1 \, \text{m/s}$

步骤2：分析时间关系

设物块平抛时间为$t_2$，此时薄板中心到达$O$点：

• 薄板移动距离：
  $\frac{l}{2} - \frac{l}{6} = v_2 t_2$
  $\frac{1}{2} - \frac{1}{6} = 1 \cdot t_2 \implies t_2 = \frac{1}{3} \, \text{s}$

步骤3：计算平台高度

平抛高度：
$h = \frac{1}{2} g t_2^2 = \frac{1}{2} \times 10 \times \left( \frac{1}{3} \right)^2 = \frac{5}{9} \, \text{m}$