题目
针方向. 计算 int dfrac ({e)^(x^2)-(x)^2y}({x)^2+(y)^2}dx+dfrac (x{y)^2-sin (y)^2}({x)^2+(y)^2}dy 其中L是 ^2+(y)^2=(a)^2 顺时
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定积分路径和方向
L是圆 ${x}^{2}+{y}^{2}={a}^{2}$ 的顺时针方向，即圆的反向边界。
步骤 2：应用格林公式
格林公式：$\oint_{L} Pdx + Qdy = \iint_{D} \left( \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right) dxdy$，其中D是L所围成的区域。
这里，$P = \dfrac {{e}^{{x}^{2}}-{x}^{2}y}{{x}^{2}+{y}^{2}}$，$Q = \dfrac {x{y}^{2}-\sin {y}^{2}}{{x}^{2}+{y}^{2}}$。
由于L是反向边界，所以积分值取负值。
步骤 3：计算偏导数
$\frac{\partial Q}{\partial x} = \frac{y^2(x^2+y^2) - (xy^2 - \sin y^2)2x}{(x^2+y^2)^2} = \frac{y^2(x^2+y^2) - 2x^2y^2 + 2x\sin y^2}{(x^2+y^2)^2} = \frac{y^2(x^2+y^2) - 2x^2y^2 + 2x\sin y^2}{(x^2+y^2)^2}$
$\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{-x^2(x^2+y^2) - (e^{x^2} - x^2y)2y}{(x^2+y^2)^2} = \frac{-x^2(x^2+y^2) - 2ye^{x^2} + 2yx^2y}{(x^2+y^2)^2} = \frac{-x^2(x^2+y^2) - 2ye^{x^2} + 2yx^2y}{(x^2+y^2)^2}$
$\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} = \frac{y^2(x^2+y^2) - 2x^2y^2 + 2x\sin y^2}{(x^2+y^2)^2} - \frac{-x^2(x^2+y^2) - 2ye^{x^2} + 2yx^2y}{(x^2+y^2)^2} = \frac{y^2(x^2+y^2) - 2x^2y^2 + 2x\sin y^2 + x^2(x^2+y^2) + 2ye^{x^2} - 2yx^2y}{(x^2+y^2)^2} = \frac{x^2+y^2}{(x^2+y^2)^2} = \frac{1}{x^2+y^2}$
步骤 4：计算二重积分
$\iint_{D} \frac{1}{x^2+y^2} dxdy = \iint_{D} \frac{1}{a^2} dxdy = \frac{1}{a^2} \iint_{D} dxdy = \frac{1}{a^2} \pi a^2 = \pi$
由于L是反向边界，所以积分值取负值，即$-\pi$。
L是圆 ${x}^{2}+{y}^{2}={a}^{2}$ 的顺时针方向，即圆的反向边界。
步骤 2：应用格林公式
格林公式：$\oint_{L} Pdx + Qdy = \iint_{D} \left( \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right) dxdy$，其中D是L所围成的区域。
这里，$P = \dfrac {{e}^{{x}^{2}}-{x}^{2}y}{{x}^{2}+{y}^{2}}$，$Q = \dfrac {x{y}^{2}-\sin {y}^{2}}{{x}^{2}+{y}^{2}}$。
由于L是反向边界，所以积分值取负值。
步骤 3：计算偏导数
$\frac{\partial Q}{\partial x} = \frac{y^2(x^2+y^2) - (xy^2 - \sin y^2)2x}{(x^2+y^2)^2} = \frac{y^2(x^2+y^2) - 2x^2y^2 + 2x\sin y^2}{(x^2+y^2)^2} = \frac{y^2(x^2+y^2) - 2x^2y^2 + 2x\sin y^2}{(x^2+y^2)^2}$
$\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{-x^2(x^2+y^2) - (e^{x^2} - x^2y)2y}{(x^2+y^2)^2} = \frac{-x^2(x^2+y^2) - 2ye^{x^2} + 2yx^2y}{(x^2+y^2)^2} = \frac{-x^2(x^2+y^2) - 2ye^{x^2} + 2yx^2y}{(x^2+y^2)^2}$
$\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} = \frac{y^2(x^2+y^2) - 2x^2y^2 + 2x\sin y^2}{(x^2+y^2)^2} - \frac{-x^2(x^2+y^2) - 2ye^{x^2} + 2yx^2y}{(x^2+y^2)^2} = \frac{y^2(x^2+y^2) - 2x^2y^2 + 2x\sin y^2 + x^2(x^2+y^2) + 2ye^{x^2} - 2yx^2y}{(x^2+y^2)^2} = \frac{x^2+y^2}{(x^2+y^2)^2} = \frac{1}{x^2+y^2}$
步骤 4：计算二重积分
$\iint_{D} \frac{1}{x^2+y^2} dxdy = \iint_{D} \frac{1}{a^2} dxdy = \frac{1}{a^2} \iint_{D} dxdy = \frac{1}{a^2} \pi a^2 = \pi$
由于L是反向边界，所以积分值取负值，即$-\pi$。