题目

'=cos (x+y).

$y'=\cos\left(x+y\right)$ .

题目解答

答案

对于微分方程 $y'=\cos\left(x+y\right)$ ，令 $u=x+y$ ，则有 $\frac{du}{dx}=1+\frac{dy}{dx}$ ，微分方程可化为 $\frac{du}{dx}-1=\cos u$ ，即 $\frac{1}{\cos u+1}du=dx$ ，取积分得到 $\int_{ }^{ }\frac{1}{\cos u+1}du=\int_{ }^{ }dx$ ，其中 $\int_{ }^{ }\frac{1}{\cos u+1}du=\int_{ }^{ }\frac{1-\cos u}{\left(1+\cos u\right)\left(1-\cos u\right)}du=\int_{ }^{ }\frac{1-\cos u}{1-\cos^2u}du$ $=\int_{ }^{ }\frac{1-\cos u}{\sin^2u}du=\int_{ }^{ }\frac{1}{\sin^2u}-\frac{\cos u}{\sin^2u}du=-\cot u+\frac{1}{\sin u}+C$ ，故微分方程通解为 $-\cot u+\frac{1}{\sin u}=x+C$ ，即 $-\cot\left(x+y\right)+\frac{1}{\sin\left(x+y\right)}=x+C$ ，其中C为任意常数.

解析

考查要点：本题主要考查一阶微分方程的变量代换解法，特别是通过引入新变量将方程转化为可分离变量的形式。

解题核心思路：

变量代换：令$u = x + y$，将原方程中的复合变量$x+y$简化为单一变量$u$。
方程变形：通过求导关系$\dfrac{du}{dx} = 1 + y'$，将原方程转化为关于$u$和$x$的微分方程。
分离变量与积分：分离变量后对两边积分，重点在于处理积分$\int \dfrac{1}{\cos u + 1} du$，需通过有理化分母和分部积分完成。

破题关键点：

正确选择代换变量，简化方程结构。
灵活处理积分技巧，如分子分母同乘$(1 - \cos u)$，将积分转化为基本形式。

变量代换与方程变形

令$u = x + y$，则$\dfrac{du}{dx} = 1 + \dfrac{dy}{dx} = 1 + y'$。
原方程$y' = \cos u$代入得：
$\dfrac{du}{dx} = 1 + \cos u$
整理为：
$\dfrac{du}{dx} - 1 = \cos u \quad \Rightarrow \quad \dfrac{1}{\cos u + 1} du = dx$

积分处理

对两边积分：
$\int \dfrac{1}{\cos u + 1} du = \int dx$
有理化分母：分子分母同乘$(1 - \cos u)$，得：
$\int \dfrac{1 - \cos u}{\sin^2 u} du = \int dx$
拆分积分：
$\int \dfrac{1}{\sin^2 u} du - \int \dfrac{\cos u}{\sin^2 u} du = \int dx$
分别计算：

$\int \dfrac{1}{\sin^2 u} du = -\cot u + C_1$
$\int \dfrac{\cos u}{\sin^2 u} du = -\dfrac{1}{\sin u} + C_2$

合并结果：
$-\cot u + \dfrac{1}{\sin u} = x + C$

还原变量

将$u = x + y$代回，得通解：
$-\cot(x + y) + \dfrac{1}{\sin(x + y)} = x + C$